;1
"0,0,SPIS TREÿCI
_0,10,87,10,0
)5,20,17
"23,23,Wprowadzenie
"30,35,Podstawowe informacje o pracy z prog-
"30,45,ramem
"30,55,Filozofia obsÆugi programu
"30,65,Zastosowania programu
)5,80,18
"23,83,Opis dostæpnych opcji
"30,95,SzcegóÆowy opis wszystkich dostæpnych
"30,105,w programe opcji
)5,120,19
"23,123,Wybrane wiadomo₧ci z geometrii
"30,135,Podstawowe definicje i twierdzenia
"30,145,dwuwymiarowej geometrii euklidesowej
"30,155,Niektóre wÆa₧ciwo₧ci figur pÆaskich
-

;2
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,PUNKT DANY
_40,22,119,22,0
"5,40,Rysowanie kaºdej konstrukcji musimy roz-
"5,50,poczåì od wyznaczenia punktów danych.
"5,60,PoÆoºenie punktu danego nie zaleºy od
"5,70,ºadnych innych figur. Aby wyznaczyì taki
"5,80,punkt, musimy wybraì odpowiednie narzæ-
"5,90,dzie i wskazaì myszå dowolne miejsce na
"5,100,roboczej czæ₧ci ekranu. Od tak utworzone-
"5,110,go punktu moºe juº zaleºeì poÆoºenie in-
"5,120,nych figur.
"5,130,Raz narysowany punkt dany moºemy dowolnie
"5,140,przesuwaì myszå po ekranie, o czym przy-
"5,150,pomina nam jego niebieski kolor (czerwo-
"5,160,nych punktów nie moºna przesuwaì bezpo₧-
"5,170,rednio). Oczywi₧cie, poÆoºenie wszystkich
"5,180,uzaleºnionych od tego punktu figur, np.
"5,190,poprowadzonych przezeñ prostych, bædzie
"5,200,równieº odpowiednio siæ zmieniaÆo. Jest
"5,210,to podstawowa róºnica miædzy tym progra-
"5,220,mem a kartkå papieru, oÆówkiem, cyrklem
"5,230,i linijkå.
_0,240,332,240,0
_0,242,332,242,0
"5,246,PUNKT jest pojæciem pierwotnym, czyli
"5,256,nie definiujemy go.
-
?

;3
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,PROSTA WYZNACZONA PRZEZ DWA PUNKTY
_40,22,295,22,0
"5,40,Aby narysowaì prostå, przechodzåcå przez
"5,50,dowolne dwa skonstruowane juº punkty, na-
"5,60,leºy wybraì stosowne narzædzie, a nastæp-
"5,70,nie wskazaì myszå kolejno oba te punkty.
_0,80,332,80,0
_0,82,332,82,0
"5,86,PROSTA jest pojæciem pierwotnym, czyli
"5,96,nie definiujemy jej.
-
?

;4
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,ODCINEK
_40,22,95,22,0
"5,40,Aby narysowaì odcinek o skonstruowanych
"5,50,juº koñcach, naleºy po wybraniu potrzeb-
"5,60,nego narzædzia wskazaì myszå kolejno oba
"5,70,jego koñce.
"5,80,UWAGA! W tym programie dla wygody uºyt-
"5,90,kownika punkt przeciæcia odcinka z innå
"5,100,figurå jest w rzeczywisto₧ci punktem
"5,110,przeciæcia prostej, na której leºy odci-
"5,120,nek z owå figurå - dziæki temu zawsze
"5,130,istnieje np. punkt przeciæcia boku trój-
"5,140,kåta (odcinka) z jego wysoko₧ciå, spusz-
"5,150,czonå z wierzchoÆka kåta rozwartego.
_0,160,332,160,0
_0,162,332,162,0
"5,166,ODCINEK jest to czæ₧ì punktów prostej,
"5,176,zawarta miædzy dwoma punktami, wraz z ty-
"5,186,mi punktami (så to koñce odcinka).
-
?

;5
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,OKRÅG
_40,22,79,22,0
"5,40,W celu narysowania okrægu, naleºy oczy-
"5,50,wi₧cie wybraì sÆuºåce temu narzædzie,
"5,60,a nastæpnie W PODANEJ KOLEJNOÿCI wskazaì
"5,70,trzy punkty:
"10,80,  i) ₧rodek okrægu
"10,90, ii) pierwszy z dwu punktów, których od-
"10,100,     legÆo₧ì bædzie równa promieniowi
"10,110,     konstruowanego okrægu
"10,120,iii) drugi taki punkt
"5,130,Jeºeli mamy dany ₧rodek okrægu i jeden
"5,140,punkt, naleºåcy do niego, to naleºy ₧ro-
"5,150,dek okrægu wskazaì po prostu dwukrotnie.
"5,160,Jeºeli chcemy skonstruowaì okråg, które-
"5,170,go promieñ nie zaleºy od innych elementów
"5,180,konstrukcji, to najlepiej utworzyì gdzie₧
"5,190,w rogu ekranu dwa punkty dane, których
"5,200,odlegÆo₧ì bædzie wyznaczaÆa promieñ okræ-
"5,210,gu, a nastæpnie wskazaì je po wybraniu
"5,220,₧rodka.
_0,230,332,230,0
_0,232,332,232,0
"5,236,OKRÉGIEM o(S,r) o ₧rodku w punkcie S
"5,246,i promieniu r>0 nazywamy miejsce geome-
"5,256,tryczne (zbiór wszystkich) punktów, któ-
"5,266,rych odlegÆo₧ì od S jest równa r.
-
?

;6
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,PUNKT PRZECIÉCIA DWúCH FIGUR
_40,22,263,22,0
"5,40,Aºeby znaleºì punkt przeciæcia dwóch fi-
"5,50,gur, naleºy po wybraniu odpowiedniego na-
"5,60,rzædzia wskazaì kolejno dwie dowolne fi-
"5,70,gury (tylko punkty nie bædå brane pod u-
"5,80,wagæ). W zaleºno₧ci od rodzaju tych figur
"5,90,i od ich wzajemnego poÆoºenia, zostanie
"5,100,utworzony punkt lub dwa punkty.
"5,110,Jeºeli w wyniku przesuwania punktów da-
"5,120,nych figury te stanå siæ rozÆåczne (np.
"5,130,proste stanå siæ równolegÆe lub odlegÆo₧ì
"5,140,₧rodków okrægów wiæksza od sumy ich pro-
"5,150,mieni), to punkty ich przeciæcia i wszys-
"5,160,tkie ZALEíNE OD NICH FIGURY zniknå z ek-
"5,170,ranu, ale nie z pamiæci komputera! Je₧li
"5,180,póªniej figury znowu siæ przetnå, caÆa
"5,190,oparta o ich punkty wspólne konstrukcja
"5,200,wróci na swoje miejsce.
_0,210,332,210,0
_0,212,332,212,0
"5,216,DWIE PROSTE przecinajå siæ dokÆadnie
"5,226,w jednym punkcie <=> nie så równolegÆe.
_0,235,332,235,0
"5,237,Niech d oznacza odlegÆo₧ì ₧rodków DWU OK-
"5,247,RÉGúW, a R ≥ r - ich promienie.
"5,257,  i) dla R + r > d okrægi så rozÆåczne
"5,267, ii) dla R + r = d okrægi så styczne
>312,257,331,276,20,>
-
?

;7
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,ÿRODEK ODCINKA
_40,22,151,22,0
"5,40,W celu znalezienia ₧rodka odcinka trzeba,
"5,50,wybrawszy odpowiednie narzædzie, wskazaì
"5,60,kolejno oba jego koñce.
"5,70,UWAGA! Aby to zrobiì, nie trzeba wcze₧-
"5,80,niej konstruowaì samego odcinka - waºne
"5,90,så jedynie punkty - jego koñce.
-
?

;8
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,DWUSIECZNA KÅTA
_40,22,159,22,0
"5,40,By skonstruowaì dwusiecznå kåta, naleºy
"5,50,po wybraniu potrzebnego narzædzia wskazaì
"5,60,myszå W PODANEJ KOLEJNOÿCI
"10,70,  i) dowolny punkt, leºåcy na jednym
"10,80,     z ramion kåta
"10,90, ii) wierzchoÆek kåta
"10,100,iii) punkt, leºåcy na drugim z ramion
"10,110,     kåta
"5,120,(kolejno₧ì jak przy oznaczniu kåta, np.
"5,130,<ABC oznacza kåt o wierzchoÆku B i ramio-
_9,129,9,137,0
"5,140,nach BA  i BC ).
_61,141,66,141,0
.65,142,0
.65,140,0
_109,141,114,141,0
.113,142,0
.113,140,0
"5,150,UWAGA! Przez dwusiecznå rozumiemy tu
"5,160,prostå, na której ona leºy ("na prawdæ"
"5,170,dwusieczna jest póÆprostå - patrz niºej).
_0,180,332,180,0
_0,182,332,182,0
"5,186,Pú£PROSTA jest to czæ₧ì prostej, poÆoºona
"5,196,po jednej stronie jednego z jej punktów,
"5,206,zwanego koñcem póÆprostej, wraz z tym
"5,216,punktem.
"5,226,KÅT jest to jedna z dwu czæ₧ci pÆaszczyz-
"5,236,ny, na jakie dzielå jå dwie póÆproste
"5,246,o wspólnym koñcu, zwane ramionami kåta,
"5,256,razem z tymi póÆprostymi i ich wspól-
"5,266,nym koñcem - wierzchoÆkiem kåta.
>312,257,331,276,21,>
-
?

;9
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,PROSTA PROSTOPAD£A
_40,22,183,22,0
"5,40,Skonstruowanie prostej prostopadÆej do
"5,50,prostej lub odcinka i przechodzåcej przez
"5,60,ustalony punkt sprowadza siæ do wybrania
"5,70,odpowiedniego narzædzia i wskazania w do-
"5,80,wolnej kolejno₧ci punktu oraz prostej lub
"5,90,odcinka.
"5,100,Je₧li punkt leºy na prostej lub
"5,110,odcinku, to wystarczy dwa razy wskazaì
"5,120,ten punkt.
_0,130,332,130,0
_0,132,332,132,0
"5,136,Z danego punktu na danå prostå lub odci-
"5,146,nek moºna zawsze opu₧ciì dokÆadnie jednå
"5,156,prostopadÆå.
-
?

;10
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,PROSTA RúWNOLEG£A
_40,22,175,22,0
"5,40,Skonstruowanie prostej równolegÆej do
"5,50,prostej lub odcinka i przechodzåcej przez
"5,60,ustalony punkt sprowadza siæ do wybrania
"5,70,odpowiedniego narzædzia i wskazania w do-
"5,80,wolnej kolejno₧ci punktu oraz prostej lub
"5,90,odcinka.
_0,100,332,100,0
_0,102,332,102,0
"5,106,Przez dany punkt moºna zawsze poprowadziì
"5,116,dokÆadnie jednå równolegÆå do danej pros-
"5,126,tej lub odcinka.
-
?

;11
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,UKRYWANIE I POWTúRNE UKAZYWANIE FIGUR
_40,22,335,22,0
"5,40,W kaºdej konstrukcji wystæpujå figury da-
"5,50,ne, szukane i konstrukcje pomocnicze. Te
"5,60,ostatnie mogå czæsto pogarszaì czytelno₧ì
"5,70,rysunku, dlatego celowe moºe byì ich uk-
"5,80,rycie. Wystarczy wybraì odpowiednie na-
"5,90,rzædzie i wskazaì figuræ, którå chcemy
"5,100,ukryì. Je₧li chcemy powtórnie wy₧wietliì
"5,110,na ekranie schowanå wcze₧niej figuræ,
"5,120,to wykonujemy czynno₧ì zupeÆnie analo-
"5,130,gicznå (po wybraniu narzædzia niewidocz-
"5,140,ne figury zostanå wy₧wietlone w kolorze
"5,150,szarym, wtedy moºna je wskazywaì myszå).
"5,160,Konsekwencjami ukrycia figury så usuniæ-
"5,170,cie jej z rysunku oraz zablokowanie moº-
"5,180,liwo₧ci budowania figur zaleºnych od
"5,190,schowanej (np. opuszczania prostopadÆej
"5,200,na ukrytå prostå). Oczywi₧cie, powtórne
"5,210,wy₧wietlenie takiej figury przywraca
"5,220,caÆkowicie stan poczåtkowy.
"5,230,Ukrycie figury nie ma wpÆywu na figury
"5,240,od niej zaleºne (por. kasowanie figur).
-
?

;12
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,KASOWANIE FIGUR
_40,22,159,22,0
"5,40,Jeºeli omyÆkowo wykonamy zbædnå konstruk-
"5,50,cjæ lub np. z dwu punktów przeciæcia
"5,60,prostej z okrægiem istotny dla nas jest
"5,70,tylko jeden, to niepotrzebnå figuræ moºna
"5,80,skasowaì. Naleºy wybraì odpowiednie na-
"5,90,rzædzie i wskazaì figuræ, o którå nam
"5,100,chodzi. Program poprosi o potwierdzenie
"5,110,poniewaº czynno₧ì ta jest a) nieodwracal-
"5,120,na i b) skasowanie figury powoduje auto-
"5,130,matyczne usuniæcie wszystkich figur od
"5,140,niej zaleºnych (por. ukrywanie figur).
-
?

;13
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,NOWA KONSTRUKCJA
_40,22,167,22,0
"5,40,Wybranie opcji "nowa konstruckja" umoºli-
"5,50,wia rozpoczæcie pracy od nowa. Je₧li ry-
"5,60,sunek, nad którym obecnie pracujemy, zos-
"5,70,taÆ zmieniony od ostatniego nagrywania
"5,80,na dysku (o czym informuje napis "Zmie-
"5,90,niony" w dolnej czæ₧ci ekranu), program
"5,100,zaproponuje jego zapisanie lub zrezygno-
"5,110,wanie z podjætej decyzji.
-
?

;14
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,ODCZYT Z DYSKU
_40,22,151,22,0
"5,40,Wybranie tej opcji pozwala odczytaì
"5,50,z dysku zapisanå wcze₧niej konstrukcjæ.
"5,60,Wyboru pliku dokonuje siæ w oknie dialo-
"5,70,gowym, obsÆugiwanym zgodnie z ogólnie
"5,80,przyjætå konwencjå (myszå lub klawiatu-
"5,90,rå). Program posiada wÆasny format zapi-
"5,100,su plików na dysku (domy₧lne rozszerze-
"5,110,nie nazwy pliku *.geo).
-
?

;15
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,ZAPIS NA DYSK
_40,22,143,22,0
"5,40,Opcja ta pozwala zapisaì utworzonå kon-
"5,50,strukcjæ na dysk. Wyboru nazwy pliku do-
"5,60,konuje siæ w oknie dialogowym, obsÆugi-
"5,70,wanym zgodnie z ogólnie przyjætå kon-
"5,80,wencjå (myszå lub klawiaturå). Program
"5,90,posiada wÆasny format zapisu plików na
"5,100,dysku (domy₧lne rozszerzenie nazwy pliku
"5,110,*.geo).
"5,120,UWAGA! W wersji demonstracyjnej programu
"5,130,opcja ta jest zablkowana (próba zapisu
"5,140,pliku na dysk powoduje jedynie uznanie
"5,150,go za zapisany).
-
?

;16
@1,1,0
_0,0,31,0,0
_0,1,0,32,0
_1,32,31,32,0
_31,1,31,31,0
"40,12,WYJÿCIE Z PROGRAMU
_40,22,183,22,0
"5,40,Opcja ta sÆuºy do zakoñczenia pracy
"5,50,z programem. Je₧li rysunek nie jest zapi-
"5,60,sany na dysku (wy₧wietlony jest wtedy w
"5,70,dolnej czæ₧ci ekranu napis "Zmieniony"),
"5,80,program zaproponuje jego nagranie lub
"5,90,zrezygnowanie z wychodzenia z programu.
-
?

;17
"0,0,WPROWADZENIE
_0,10,95,10,0
"5,15,Program "Konstrukcje geometryczne" sÆuºy
"5,25,do tworzenia na ekranie komputera rysun-
"5,35,ków konstrukcyjnych. Odbywa siæ to przez
"5,45,wyznaczenie punktów danych oraz wykonywa-
"5,55,nie konstrukcji podstawowych wzglædem
"5,65,utworzonych juº figur. Zmiana poÆoºenia
"5,75,punktów danych powoduje natychmiastowå
"5,85,zmianæ poÆoºenia wszystkich innych, za-
"5,95,leºnych od nich elementów konstrukcji.
"5,110,Program oferuje nastæpujåce konstrukcje
"5,120,podstawowe: prosta wyznaczona przez dwa
"5,130,punkty, odcinek o danych koñcach, okråg
"5,140,o danym ₧rodku i promieniu, punkt prze-
"5,150,ciæcia figur, ₧rodek odcinka, dwusieczna
"5,160,kåta, prosta prostopadÆa i prosta równo-
"5,170,legÆa. Kaºdej z nich odpowiada osobne na-
"5,180,rzædzie, wybierane ze skrzynki na narzæ-
"5,190,dzia, znajdujåcej siæ po lewej stronie
"5,200,ekranu. Na kaºdym przycisku narysowana
"5,210,jest na czerwono figura tworzona tym na-
"5,220,rzædziem oraz na czarno figury, od któ-
"5,230,rych bædzie ona zaleºna. Figury te naleºy
"5,240,wskazaì myszå po wybraniu odpowiedniego
"5,250,narzædzia, o czym przypomina dodatkowo
"5,260,podpowiedª na dole ekranu.
>312,257,331,276,22,>
-
?

;18
"0,0,OPIS DOSTÉPNYCH OPCJI
_0,10,167,10,0
)5,18,2
"23,21,Punkt dany
)5,34,3
"23,37,Prosta wyznaczona przez dwa punkty
)5,50,4
"23,53,Odcinek
)5,66,5
"23,69,Okråg
)5,82,6
"23,85,Punkt przeciæcia dwóch figur
)5,98,7
"23,101,ÿrodek odcinka
)5,114,8
"23,117,Dwusieczna kåta
)5,130,9
"23,133,Prosta prostopadÆa
)5,146,10
"23,149,Prosta równolegÆa
)5,162,11
"23,165,Ukrywanie i powtórne ukazywanie figur
)5,178,12
"23,181,Kasowanie figur
)5,194,13
"23,197,Nowa konstrukcja
)5,210,14
"23,213,Odczyt z dysku
)5,226,15
"23,229,Zapis na dysk
)5,242,16
"23,245,Wyj₧cie z programu
-
?

;19
"0,0,WYBRANE WIADOMOÿCI Z GEOMETRII
_0,10,239,10,0
)5,18,23
"23,21,Najwaºniejsze definicje
)5,34,24
"23,37,Twierdzenie Talesa i twierdzenie
"23,47,odwrotne
)5,60,25
"23,63,Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie
"23,73,odwrotne
)5,86,26
"23,89,Cechy podobieñstwa i przystawania
"23,99,trójkåtów
)5,112,27
"23,115,Twierdzenia o trójkåtach
)5,128,28
"23,131,Twierdzenia o czworokåtach
)5,144,29
"23,147,Twierdzenia o kåcie wpisanym i ₧rod-
"23,157,kowym
)5,170,33
"23,173,Proste równolegÆe i kåty
-
?

;20 - punkt przeciæcia - c.d.
>0,0,19,19,6,<
"45,13,zewnætrznie - majå 1 punkt wspólny
"5,23,iii) dla R + r < d < R - r okrægi majå 2
"5,33,     punkty przeciæcia
"5,43, iv) dla d = R - r okrægi så styczne wew-
"5,53,     nætrznie
"5,63,  v) dla d < R - r okrægi så rozÆåczne
_0,72,332,72,0
"5,74,ODLEG£OÿCIÅ PROSTEJ I PUNKTU nazywamy
"5,84,dÆugo₧ì odcinka prostopadÆego do prostej,
"5,94,którego jednym koñcem jest ten punkt,
"5,104,a drugi koniec leºy na prostej.
"5,114,Niech d oznacza odlegÆo₧ì ₧rodka OKRÉGU
"5,124,o promieniu r od pewnej PROSTEJ.
"5,134,  i) jeºel d > r to prosta i okråg så
"5,144,     figurami rozÆåcznymi
"5,154, ii) jeºeli d = r, to okråg jest styczny
"5,164,     do prostej, a ich jedyny punkt
"5,174,     wspólny nazywamy punktem styczno₧ci.
"5,184,iii) jeºeli d < r, to okråg i prosta
"5,194,     przecinajå siæ w dwóch punktach.
-
?

;21 - dwusieczna kåta - c.d.
>0,0,19,19,8,<
"25,3,DWA PUNKTY nazywamy symetrycznymi
"25,13,wzglædem prostej, je₧li prosta prze-
"5,23,cina Æåczåcy je odcinek na ₧rodku i pod
"5,33,kåtem prostym (jest jego symetralnå)
"5,43,lub oba te punkty leºå na prostej i po-
"5,53,krywajå siæ.
"5,63,SYMETRIÅ OSIOWÅ wzglædem prostej l nazy-
"5,73,wamy takie przeksztaÆcenie pÆaszczyzny
"5,83,w siebie, które kaºdemu punktowi przypo-
"5,93,rzådkowuje punkt do niego symetryczny
"5,103,wzglædem tej prostej.
"5,113,OSIÅ SYMETRII figury nazywamy prostå ta-
"5,123,kå, ºe obrazem figury w symetrii wzglædem
"5,133,tej osi jest ta sama figura.
"5,143,Figuræ, która ma co najmniej jednå o₧ sy-
"5,153,metrii, nazywamy OSIOWO SYMETRYCZNÅ.
"5,163,Kaºdy kåt jest figurå osiowo symetrycznå.
"5,173,DWUSIECZNÅ kåta nazywamy czæ₧ì wspólnå
"5,183,kåta i jego osi symetrii.
-
?

;22 - wprowadzenie - c.d.
>0,0,19,19,17,<
"25,3,PrzykÆadowe zastosowania programu
_25,13,288,13,0
"5,22,Moºliwo₧ci programu pozwalajå wykorzysty-
"5,32,waì go przynajmniej w kilku sytuacjach:
"7,42,  i) Rozwiåzywanie zadañ konstrukcyjnych
"7,52,     Moºliwo₧ci wielokrotnego zmieniania
"7,62,     rysunku, zapamiætania róºnych wersji
"7,72,     na dysku, ukrywania konstrukcji po-
"7,82,     mocniczych itp. znakomicie uÆatwiajå
"7,92,     poszukiwanie rozwiåzania
"7,102, ii) Rozwiåzywanie zadañ na dowodzenie
"7,112,     twierdzeñ geometrycznych
"7,122,     Narysowanie konstrukcji, o jakiej
"7,132,     mowa w zaÆoºeniach zadania i oglåda-
"7,142,     nie jej dla róºnych danych jest duºo
"7,152,     bardziej poglådowe, niº jeden, sta-
"7,162,     tyczny rysunek na papierze.
"7,172,iii) Prezentacje na lekcjach matematyki
"7,182,     Program umoºliwia przygotowanie
"7,192,     i zapamiætanie na dysku konstrukcji,
"7,202,     zwiåzanej z tematem lekcji oraz póº-
"7,212,     niejsze jej zaprezentowanie (np. o-
"7,222,     glådajåc okræg, wpisany w ruchomy
"7,232,     trójkåt, uczniowie mogå Æatwiej "u-
"7,242,     wierzyì", ºe jego ₧rodek leºy w pun-
"7,252,     kcie przeciæcia dwusiecznych, niº
"7,262,     gdyby byli skazani jedynie na anali-
"7,272,     zæ ₧cisÆego dowodu)
-
?

;23
"0,0,PODSTAWOWE DEFINICJE
_0,10,159,10,0
"5,20,PUNKT, PROSTA-pojæì tych nie definiujemy.
"5,32,ODCINEK jest to czæ₧ì punktów prostej,
"5,42,zawarta miædzy dwoma punktami, wraz z ty-
"5,52,mi punktami (så to koñce odcinka)
"5,64,OKRÉGIEM o(S,r) o ₧rodku w punkcie S
"5,74,i promieniu r>0 nazywamy miejsce geome-
"5,84,tryczne (zbiór wszystkich) punktów, któ-
"5,94,rych odlegÆo₧ì od S jest równa r.
"5,106,Pú£PROSTA jest to czæ₧ì prostej, poÆoºona
"5,116,po jednej stronie jednego z jej punktów,
"5,126,zwanego koñcem póÆprostej, wraz z tym
"5,136,punktem.
"5,148,KÅT jest to jedna z dwu czæ₧ci pÆaszczyz-
"5,158,ny, na jakie dzielå jå dwie póÆproste
"5,168,o wspólnym koñcu, zwane ramionami kåta,
"5,178,razem z tymi póÆprostymi i ich wspólnym
"5,188,koñcem - wierzchoÆkiem kåta.
"5,200,SYMETRALNA odcinka jest to prosta prosto-
"5,210,padÆa do tego odcinka i przechodzåca
"5,220,przez jego ₧rodek.
"5,230,Symetralna jest miejscem geometrycznym
"5,240,punktów równo oddalonych od obu koñ-
"5,250,ców odcinka.
>312,257,331,276,30,>
-
?

;24
"0,0,TWIERDZENIE TALESA I TWIERDZENIE ODWROTNE
_0,10,327,10,0
_330,20,170,100,0
_168,93,330,93,0
_293,29,310,100,0
_240,57,250,100,0
"180,80,O
"242,46,A
"300,20,B
"260,100,C
"320,100,D
"5,20,Przetnijmy ramiona kåta pros-
"5,30,tymi AC i BD.
"5,42,TWIERDZENIE TALESA NA OD-
"5,52,CINKI PROSTE
"5,62,Jeºeli AC║BD (prosta
"5,72,AC jest równolegÆa
"5,82,do BD), to
"5,92,   │OA│ │AB│
_31,101,58,101,0
_71,101,98,101,0
"5,103,   │OC│ │OD│
"61,97,=
"5,115,TWIERDZENIE TALESA NA ODCINKI POPRZECZNE
"5,125,Jeºeli AC║BD, to
"5,135,   │OA│ │AC│
_31,144,58,144,0
_71,144,98,144,0
"5,146,   │OB│ │BD│
"61,140,=
"5,158,TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA
"5,168,TALESA (NA ODCINKI PROSTE)
"5,178,Jeºeli
"5,188,   │OA│ │AB│
_31,197,58,197,0
_71,197,98,197,0
"5,199,   │OC│ │CD│
"61,193,=
"5,209,to AC║BD.
"5,219,Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Tale-
"5,229,sa na odcinki poprzeczne nie zachodzi.
-
?

;25
"0,0,TWIERDZENIE PITAGORASA I TWIERDZ. ODWROTNE
_0,10,335,10,0
_170,100,320,25,0
_170,100,320,100,0
_320,25,320,100,0
"160,97,A
"317,15,B
"322,102,C
"323,52,a
"245,103,b
"245,50,c
"5,20,Rozpatrzmy trójkåt ABC o bo-
"5,30,kach odpowiednio a, b, c.
"5,42,TWIERDZENIE PITAGORASA
"5,52,Jeºeli kåt C jest kåtem
"5,62,prostym, to zachodzi
"5,72,   a²+b²=c²
"5,94,TWIERDZENIE OD-
"5,104,WROTNE DO TWIER-
"5,114,DZENIA PITAGORASA
"5,124,Jeºeli zachodzi
"5,134,   a²+b²=c²
"5,144,to kåt C jest kåtem prostym.
-
?

;26
"0,0,CECHY PODOBIEÑSTWA I PRZYSTAWANIA
"0,14,TRúJKÅTúW
_0,10,263,10,0
_0,24,71,24,0
"5,34,Rozpatrzmy dwa trójkåty ABC oraz A'B'C'.
"5,46,Trójkåty te så podobne wtedy i tylko
"5,56,wtedy, gdy
"5,66,  i) majå po dwa kåty równe (cecha KK)
"5,76, ii) majå 1 kåt równy, a stosunki dÆugo₧-
"5,86,     ci boków PRZY tym kåcie så równe
"5,96,     (cecha BKB)
"5,106,iii) stosunki dÆugo₧ci odpowierdnich bo-
"5,116,     ków så równe (cecha BBB).
"5,128,Trójkåty te så za₧ przystajåce wtedy
"5,138,i tylko wtedy, gdy
"5,148,  i) majå po dwa kåty i jednym (dowolnym)
"5,158,     boku równym (KBK)
"5,168, ii) majå po dwa boki równe oraz równe
"5,178,     så kåty MIÉDZY nimi (BKB)
"5,188,iii) majå wszystkie trzy boki odpowiednio
"5,198,     równe (BBB).
-
?

;27
"0,0,TWIERDZENIA O TRúJKÅTACH
_0,10,191,10,0
"5,20,TWIERDZENIE O SUMIE KÅTúW TRúJKÅTA: suma
"5,30,kåtów wewnætrznych w trójkåcie jest rów-
"5,40,na kåtowi póÆpeÆnemu (180°).
"5,52,TWIERDZENIE O ODCINKU £ÅCZÅCYM ÿRODKI BO-
"5,62,KúW TRúJKÅTA: odcinek Æåczåcy ₧rodki dwu
"5,72,boków trójkåta jest równolegÆy do trze-
"5,82,ciego boku i dwa razy od niego krótszy.
"5,94,TWIERDZENIE: wszystkie trzy ₧rodkowe
"5,104,trójkåta przecinajå siæ w jednym punkcie,
"5,114,zwanym ₧rodkiem ciæºko₧ci trójkåta, który
"5,124,dzieli je w stosunku 1 : 2.
"5,136,TWIERDZENIE: wszystkie trzy proste, na
"5,146,których leºå wysoko₧ci trójkåta, przeci-
"5,156,najå siæ w jednym punkcie, zwanym orto-
"5,166,centrum trójkåta.
"5,178,TWIERDZENIE: wszystkie trzy dwusieczne
"5,188,kåtów wewnætrznych w trójkåcie przecinajå
"5,198,siæ w jednym punkcie, który jest ₧rodkiem
"5,208,okrægu, wpisanego w ten trójkåt (styczne-
"5,218,go do kaºdego z jego boków).
"5,230,TWIERDZENIE: wszystkie trzy symetralne
"5,240,boków trójkåta przecinajå siæ w jednym
"5,250,punkcie, który jest ₧rodkiem okrægu, opi-
"5,260,sanego na tym trójkåcie (przechodzåcym
"5,270,przez kaºdy z jego wierzchoÆków).
-
?

;28
"0,0,TWIERDZENIA O CZWOROKÅTACH
_0,10,207,10,0
"5,20,TWIERDZENIE: Suma kåtów wewnætrznych
"5,30,czworokåta jest równa kåtowi peÆnemu
"5,40,(360°).
"5,52,TWIERDZENIE: Na czworokåcie moºna opisaì
"5,62,okråg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy prze-
"5,72,ciwlegÆych kåtów wewnætrznych så równe.
"5,84,TWIERDZENIE: W czworokåt moºna wpisaì
"5,94,okråg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dÆu-
"5,104,go₧ci przeciwlegÆych boków så równe.
-
?

;29
"0,0,TWIERDZENIA O KÅCIE WPISANYM I ÿRODKOWYM
_0,10,319,10,0
o230,120,90,0
_230,120,320,120,0
_230,120,158,174,0
_230,30,320,120,0
_230,30,158,174,0
u230,120,218,360,20,0
u230,30,245,315,20,0
"225,20,O'
"324,117,A
"148,174,B
"226,110,O
"5,20,Kåt <AOB nazywamy kåtem
_41,19,41,27,0
"5,30,₧rodkowym, opartym na
"5,40,Æuku AB, za₧ kåt
"5,50,<AO'B - kåtem wpisa-
_9,49,9,57,0
"5,60,nym, opartym na
"5,70,tym Æuku.
"5,82,TWIERDZENIE:
"5,92,Miary wszystkich
"5,102,kåtów wpisanych,
"5,112,opartych na tym
"5,122,samym Æuku, så
"5,132,sobie równe.
"5,144,TWIERDZENIE:
"5,154,Miara kaºdego
"5,164,z kåtów wpisa-
"5,174,nych, opartych
"5,184,na danym Æuku,
"5,194,jest równa poÆo-
"5,204,wie miary kåta ₧rod-
"5,214,kowego na nim opartego.
"5,226,TWIERDZENIE:
"5,236,Kåt wpisany, oparty na póÆokrægu, jest
"5,246,kåtem prostym.
?
-

;30 - podstawowe definicje c.d.
>0,0,19,19,23,<
"25,3,DWA PUNKTY nazywamy symetrycznymi
"25,13,wzglædem prostej, je₧li prosta prze-
"5,23,cina Æåczåcy je odcinek na ₧rodku i pod
"5,33,kåtem prostym (jest jego symetralnå)
"5,43,lub oba te punkty leºå na prostej i po-
"5,53,krywajå siæ.
"5,65,SYMETRIÅ OSIOWÅ wzglædem prostej l nazy-
"5,75,wamy takie przeksztaÆcenie pÆaszczyzny
"5,85,w siebie, które kaºdemu punktowi przypo-
"5,95,rzådkowuje punkt do niego symetryczny
"5,105,wzglædem tej prostej.
"5,117,OSIÅ SYMETRII figury nazywamy prostå ta-
"5,127,kå, ºe obrazem figury w symetrii wzglædem
"5,137,tej osi jest ta sama figura.
"5,147,Figuræ, która ma co najmniej jednå o₧ sy-
"5,157,metrii, nazywamy OSIOWO SYMETRYCZNÅ.
"5,167,Kaºdy kåt jest figurå osiowo symetrycznå.
"5,179,ODLEG£OÿCIÅ PROSTEJ I PUNKTU nazywamy
"5,189,dÆugo₧ì odcinka prostopadÆego do prostej,
"5,199,którego jednym koñcem jest ten punkt,
"5,209,a drugi koniec leºy na prostej.
"5,221,DWUSIECZNÅ kåta nazywamy czæ₧ì wspólnå
"5,231,kåta i jego osi symetrii.
"5,241,Dwusieczna jest zbiorem tych punktów kå-
"5,251,ta, które så równo oddalone od obu
"5,261,jego ramion wraz z wierzchoÆkiem kåta.
>312,257,331,276,31,>
-
?

;31 - definicje c.d.
>0,0,19,19,30,<
"25,3,IZOMETRIA jest to takie przeksztaÆcenie
"25,13,pÆaszczyzny w siebie, ºe odlegÆo₧ì
"5,23,obrazów dowolnych dwu punktów jest równa
"5,33,odlegÆo₧ci tych punktów.
"5,43,PrzykÆady izometrii: symetria osiowa,
"5,53,₧rodkowa, translacja (przesuniæcie równo-
"5,63,legÆe), obrót, przeksztaÆcenie toºsamo₧-
"5,73,ciowe.
"5,83,Kaºda izometria jest zÆoºeniem co najwy-
"5,93,ºej trzech symetrii osiowych.
"5,105,PODOBIEÑSTWO o skali s>0 jest to kaºde
"5,115,takie przeksztaÆcenie pÆaszczyzny w sie-
"5,125,bie, ºe dla dowolnych dwu punktów A, B
"5,135,oraz ich obrazów A', B' speÆniony jest
"5,145,warunek │A'B'│ = s∙│AB│.
"5,155,PrzykÆady podobieñstw: jednokÆadno₧ì,
"5,165,izometrie.
"5,177,Dwie figury så PRZYSTAJÅCE, jeºeli is-
"5,187,tnieje izometria taka, ºe jedna z tych
"5,197,figur jest obrazem drugiej w tym prze-
"5,207,ksztaÆceniu.
"5,219,Analogicznie, dwie figury nazywamy PO-
"5,229,DOBNYMI, je₧li istnieje podobieñstwo ta-
"5,239,kie, ºe jedna z tych figur jest obrazem
"5,249,drugiej w tym przeksztaÆceniu.
>312,257,331,276,32,>
-
?

;32 - definicje c.d.
>0,0,19,19,31,<
"25,3,STYCZNA do okrægu jest to prosta, która
"25,13,ma z nim dokÆadnie 1 punkt wspólny (na-
"5,23,zywamy go punktem styczno₧ci).
"5,33,Podstawowa wÆasno₧ì stycznej do okrægu:
"5,43,jest ona prostopadÆa do promienia okrægu,
"5,53,którego koñcem jest punkt styczno₧ci.
"5,65,WYSOKOÿò TRúJKÅTA jest to odcinek (lub
"5,75,jego dÆugo₧ì) opuszczony z wierzchoÆka
"5,85,trójkåta na przeciwlegÆy bok i prostopad-
"5,95,Æy do tego boku. Koñcami tego odcinka så
"5,105,wiæc wierzchoÆek trójkåta i punkt pros-
"5,115,tej, na której leºy bok trójkåta, nazy-
"5,125,wany SPODKIEM WYSOKOÿCI.
"5,137,ÿRODKOWA TRúJKÅTA jest to odcinek, które-
"5,147,go jednym koñcem jest wierzchoÆek trójkå-
"5,157,ta, a drugim - ₧rodek przeciwlegÆego bo-
"5,167,ku.
-
?

;33
"0,0,PROSTE RúWNOLEG£E I KÅTY
_0,10,191,10,0
_110,60,300,60,0
_110,140,300,140,0
_160,180,240,20,0
u220,60,180,243,30,0
u220,60,0,63,30,0
u220,60,243,360,25,0
u220,60,63,180,25,0
u220,60,243,360,20,0
u220,60,63,180,20,0
u180,140,180,243,30,0
u180,140,0,63,30,0
u180,140,243,360,25,0
u180,140,63,180,25,0
u180,140,243,360,20,0
u180,140,63,180,20,0
"210,22,ß
"218,24,1
"245,24,α
"253,26,1
"230,88,ß
"238,90,2
"180,78,α
"188,80,2
"170,102,ß
"178,104,3
"205,104,α
"213,106,3
"190,168,ß
"198,170,4
"140,158,α
"148,160,4
"304,56,k
"304,136,l
"5,20,Kåty α  i α
"53,23,1
"93,23,2
"5,32,så to kåty
"5,42,wierzchoÆ-
"5,52,kowe,
"5,62,  α =α
"29,65,1
"53,65,2
"5,74,Jeºeli k║l,to
"5,84,kåty α  i α
"53,87,1
"93,87,3
"5,94,nazywamy odpowia-
"5,104,dajåcymi,
"5,114,  α =α
"29,117,1
"53,117,3
"5,126,kåty α  i α
"53,129,1
"93,129,4
"5,136,nazywamy
"5,146,naprzemian-
"5,156,legÆymi zew-
"5,166,nætrznymi,
"5,176,  α =α
"29,179,1
"53,179,4
"5,188,natomiast kåty α  i α  nazywamy naprze-
"133,191,2
"173,191,3
"5,198,mianlegÆymi wewnætrznymi,
"5,208,  α =α
"29,211,2
"53,211,3
-
?

