% LK3.TEX - 3.Teil der LaTeX-Kurzbeschreibung Graz-Wien 1987
% last change: 1987-10-22.

\section{Setzen von mathematischen Formeln}

\subsection{Allgemeines}

Mathematische Textteile innerhalb eines Absatzes
werden zwischen \verb|\(| und \verb|\)| oder
zwischen \verb|$| und \verb|$| oder
zwischen \verb|\begin{math}| und \verb|\end{math}|
eingeschlossen.
Als mathematische Texte gelten sowohl komplette mathematische
Formeln als auch einzelne Variablennamen, die sich auf Formeln
beziehen, griechische Buchstaben, das Hoch- und Tiefstellen von
Texten und diverse Sonderzeichen.
\exa
Seien $a$ und $b$ die Katheten
und $c$ die Hypotenuse,
dann gilt $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
(Pythagor"aischer Lehrsatz).
\exb
\begin{verbatim}
Seien $a$ und $b$ die Katheten
und $c$ die Hypotenuse,
dann gilt $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
(Pythagor"aischer Lehrsatz).
\end{verbatim}
\exc
\exa
\TeX\ spricht man wie
 $\tau\epsilon\chi$ aus.\\[6pt]
100~m$^{2}$ Nutzfl"ache \\[6pt]
Mit $\heartsuit$-lichen
 Gr"u"sen
\exb
\begin{verbatim}
\TeX\ spricht man wie
 $\tau\epsilon\chi$ aus.\\
100~m$^{2}$ Nutzfl"ache \\
Mit $\heartsuit$-lichen
 Gr"u"sen
\end{verbatim}
\exc

Gr"o"sere mathematische Formeln oder Gleichungen setzt man besser
in eigene Zeilen.
Dazu werden sie zwischen
\verb|\[| und \verb|\]|
oder zwischen \verb|\begin{displaymath}| und \verb|\end{displaymath}|
gesetzt, wenn sie keine Gleichungsnummer erhalten sollen,
bzw.\
zwischen \verb|\begin{equation}| und \verb|\end{equation}|,
wenn sie eine Gleichungsnummer erhalten sollen.
\exa
Seien $a$ und $b$ die Katheten
und $c$ die Hypotenuse,
dann gilt
\begin{equation}
c = \sqrt{  a^{2}+b^{2}  }
\end{equation}
(Pythagor"aischer Lehrsatz).
\exb
\begin{verbatim}
Seien $a$ und $b$ die Katheten
und $c$ die Hypotenuse,
dann gilt
\begin{equation}
c = \sqrt{  a^{2}+b^{2}  }
\end{equation}
(Pythagor"aischer Lehrsatz).
\end{verbatim}
\exc

Mit \verb|\label| und \verb|\ref| kann man die Gleichungsnummern
im Text ansprechen.

\exa
\begin{equation} \label{eps}
\epsilon > 0
\end{equation}

Aus (\ref{eps}) folgt \dots
\exb
\begin{verbatim}
\begin{equation} \label{eps}
\epsilon > 0
\end{equation}

Aus (\ref{eps}) folgt \dots
\end{verbatim}
\exc



Das Setzen im mathematischen Modus unterscheidet sich vom Text-Modus
vor allem durch folgende Punkte:
\begin{enumerate}
\item
Leerstellen und Zeilenwechsel haben bei der Eingabe keine Bedeutung,
alle Abst"ande werden nach der Logik der mathematischen Ausdr"ucke
automatisch bestimmt oder m"ussen durch spezielle Befehle
wie \verb|\,| oder \verb|\qquad| angegeben werden.
\exa
\begin{equation}
\forall x \in {\rm R}:
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{equation}
\forall x \in {\rm R}:
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{verbatim}
\exc


\item
Leerzeilen sind verboten (Mathematischen Formeln m"ussen innerhalb
eines Absatzes stehen).
\item
Jeder einzelne Buchstabe wird als Name einer Variablen betrachtet
und entsprechend gesetzt (kursiv mit zus"atzlichem Abstand).
Will man innerhalb eines mathematischen Textes normalen Text
(in aufrechter Schrift, mit Wortabst"anden) setzen, mu"s man
diesen in \verb|\mbox{...}| einschlie"sen.
\exa
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\mbox{f"ur alle }
x \in {\rm R}
\end{equation}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\mbox{f"ur alle }
x \in {\rm R}
\end{equation}
\end{verbatim}
\exc


\end{enumerate}

\subsection{Elemente in mathematischen Formeln}

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Elemente, die in mathematischen
Formeln verwendet werden, kurz beschrieben.
Eine Liste aller verf"ugbaren Symbole enth"alt Kapitel~\ref{symbols}.

\bigskip

Kleine
{\bf griechische Buchstaben}
werden als \verb|\alpha|, \verb|\beta|, \verb|\gamma|, usw.\
eingegeben, gro"se griechische Buchstaben als
\verb|{\rm A}|, \verb|{\rm B}|,
\verb|\Gamma|, \verb|\Delta|,
usw.
\exa
$\lambda, \xi, \pi,
 \Phi, \Omega $
\exb
\begin{verbatim}
$\lambda, \xi, \pi,
 \Phi, \Omega $
\end{verbatim}
\exc

Weiters gibt es eine F"ulle von {\bf mathematischen Symbolen}:
von $\in$ "uber $\Rightarrow$ bis $\infty$.

\bigskip

{\bf Exponenten und Indizes} k"onnen mit den
Zeichen \verb|^| und \verb|_| hoch- bzw.~tiefgestellt werden.
\exa
$a_{1}$ \qquad
$x^{2}$ \qquad
$e^{-\alpha t}$ \qquad
$a^{3}_{ij}$
\exb
\begin{verbatim}
$a_{1}$ \qquad
$x^{2}$ \qquad
$e^{-\alpha t}$ \qquad
$a^{3}_{ij}$
\end{verbatim}
\exc

Das {\bf Wurzelzeichen} wird mit \verb|\sqrt| eingegeben,
{\it n\/}-te Wurzeln mit \verb|\sqrt[|{\it n\/}\verb|]|.
Die Gr"o"se des Wurzelzeichens wird von \LaTeX\ automatisch gew"ahlt.
\exa
$\sqrt{x}$ \qquad
$\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }$ \qquad
$\sqrt[3]{2}$
\exb
\begin{verbatim}
$\sqrt{x}$ \qquad
$\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }$
$\sqrt[3]{2}$
\end{verbatim}
\exc

Die Befehle \verb|\overline| und \verb|\underline| bewirken
{\bf waagrechte Striche} direkt "uber bzw.~unter einem Ausdruck.
\exa
$\overline{m+n}$
\exb
\begin{verbatim}
$\overline{m+n}$
\end{verbatim}
\exc

Die Befehle \verb|\overbrace| und \verb|\underbrace| bewirken
{\bf waagrechte Klammern} "uber bzw.~unter einem Ausdruck.
\exa
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$
\exb
\begin{verbatim}
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$
\end{verbatim}
\exc

Um mathematische {\bf"`Akzente"'} wie Pfeile oder Schlangen auf
Variablen zu setzen, gibt es die
in Tab.~\ref{mathakz} angef"uhrten
Befehle.
L"angere Tilden und Dacherln, die sich "uber mehrere (bis zu 3)
Zeichen erstrecken k"onnen, erh"alt man mit
\verb|\widetilde| bzw.~\verb|\widehat|.
Ableitungszeichen werden mit \verb|'| (Apostroph) eingegeben.
\exa
\begin{displaymath}
y=x^{2} \qquad
y'=2x    \qquad
y''=2
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
y=x^{2} \qquad
y'=2x    \qquad
y''=2
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

Mathematische {\bf Funktionen} werden in der Literatur "ublicherweise
nicht kursiv (wie die Namen von Variablen),
sondern in "`normaler"' Schrift dargestellt.
Dazu gibt es die folgenden Befehle:
\begin{verbatim}
\arccos   \cos    \csc   \exp   \ker     \limsup  \min   \sinh
\arcsin   \cosh   \deg   \gcd   \lg      \ln      \Pr    \sup
\arctan   \cot    \det   \hom   \lim     \log     \sec   \tan
\arg      \coth   \dim   \inf   \liminf  \max     \sin   \tanh
\end{verbatim}
F"ur die Modulo-Funktion gibt es zwei verschiedene Befehle:
\verb|\bmod| f"ur den bin"aren Operator $a \bmod b$
und \verb|\pmod{...}| f"ur die Angabe in der Form $x\equiv a \pmod{b}$.

\exa
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
=1
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
=1
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

Ein {\bf Bruch} (fraction)
wird mit dem Befehl \verb|\frac{...}{...}|  gesetzt.
F"ur einfache Br"uche kann man aber auch den Operator \verb|/| verwenden.
\exa
$1\frac{1}{2}$~Stunden
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\qquad
x^{ \frac{2}{k+1} }\qquad
x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
$1\frac{1}{2}$~Stunden
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\qquad
x^{ \frac{2}{k+1} }\qquad
x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc


{\bf Binomial-Koeffizienten} k"onnen in der Form
\verb|{...\choose...}| gesetzt werden.
Mit dem Befehl \verb|\atop| erh"alt man das Gleiche ohne Klammern.
\exa
\begin{displaymath}
{ n \choose k } \qquad
{ x\atop y+2 }
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
{ n \choose k } \qquad
{ x\atop y+2 }
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc


Das {\bf Integralzeichen} wird mit \verb|\int| eingegeben,
das {\bf Summenzeichen} mit \verb|\sum|.
Die obere und untere Grenze wird mit \verb|^| bzw.~\verb|_|
wie beim Hoch/Tiefstellen angegeben.

Normalerweise werden die Grenzen neben das Integralzeichen
gesetzt (um Platz zu sparen), durch Einf"ugen des Befehl \verb|\limits|
wird erreicht, da"s die Grenzen oberhalb und unterhalb des
Integralzeichens gesetzt werden.

Beim Summenzeichen hingegen werden die Grenzen bei
der Angabe von \verb|\nolimits| oder im laufenden Text neben das
Summenzeichen gesetzt, ansonsten aber unter- und oberhalb.
\exa
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

F"ur {\bf Klammern} und andere Begrenzer gibt es in \TeX\
viele verschiedene Symbole (z.B.~$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$).
Runde und eckige Klammern k"onnen mit den entsprechenden Tasten
eingegeben werden, geschwungene mit \verb|\{|, die anderen mit
speziellen Befehlen (z.B.~\verb|\updownarrow|).

Setzt man den Befehl \verb|\left| vor "offnende Klammern und
den Befehl \verb|\right| vor schlie"sende, so wird automatisch die
richtige Gr"o"se gew"ahlt.
\exa
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
    \right) ^3
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
    \right) ^3
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

In manchen F"allen m"ochte man die Gr"o"se der Klammern lieber
selbst festlegen, dazu sind die Befehle
\verb|\bigl|,
\verb|\Bigl|,
\verb|\biggl| und
\verb|\Biggl| anstelle von \verb|\left|
und analog \verb|\bigr| etc.\ anstelle von \verb|\right| anzugeben.
\exa
\begin{displaymath}
\Bigl( (x+1) (x-1) \Bigr) ^{2}
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\Bigl( (x+1) (x-1) \Bigr) ^{2}
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

Um in Formeln {\bf 3 Punkte} (z.B.~f"ur 1,2,\dots,n) auszugeben,
gibt es die Befehle
\verb|\ldots| und \verb|\cdots|.
\verb|\ldots| setzt die Punkte auf die Grundlinie (low),
\verb|\cdots| setzt sie in die Mitte der Zeilenh"ohe (centered).
Au"serdem gibt es die Befehle
\verb|\vdots| f"ur vertikale und
\verb|\ddots| f"ur diagonale Punkte.
\exa
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc



\subsection{Nebeneinander Setzen}

Wenn man mit den von \TeX\ gew"ahlten {\bf Abst"anden} innerhalb
von Formeln nicht zufrieden ist, kann man sie mit expliziten
Befehlen ver"andern. Die wichtigsten sind
\verb|\,| f"ur einen sehr kleinen Abstand,
\verb|\ | f"ur einen mittleren,
\verb|\quad| und \verb|\qquad| f"ur gro"se Abst"ande sowie
\verb|\!| f"ur die Verkleinerung eines Abstands.
\exa
\begin{displaymath}
F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}
 \qquad n \ge 2
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}
 \qquad n \ge 2
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

\exa
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} dx\,dy
\quad \mbox{statt} \quad
\int\int_{D} dx dy
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} dx\,dy
\quad \mbox{statt} \quad
\int\int_{D} dx dy
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc


\subsection{"Ubereinander Setzen}

F"ur {\bf Matrizen} u."a.\
gibt es das {\tt array}-Environment,
das "ahnlich wie das {\tt tabular}-Environment funktioniert.
Der Befehl \verb|\\| trennt die Zeilen.
\exa
\begin{displaymath}
{\bf X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{displaymath}
{\bf X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{verbatim}
\exc

F"ur {\bf mehrzeilige} Formeln oder Gleichungssysteme
verwendet man die Environments
{\tt eqnarray} und {\tt eqnarray*} statt {\tt equation}.
Bei {\tt eqnarray} erh"alt jede Zeile eine eigene Gleichungsnummer,
bei {\tt eqnarray*} wird wie bei {\tt displaymath} {\it keine\/}
Nummer hinzugef"ugt.
F"ur Gleichungssysteme, die {\it eine\/} gemeinsame Nummer erhalten sollen,
kann man ein {\tt array}-Environment innerhalb des {\tt equation}-Environments
verwenden.

Die Environments {\tt eqnarray} und {\tt eqnarray*}
funktionieren wie eine 3-spaltige Tabelle der Form \verb|{rcl}|,
wobei die mittlere Spalte f"ur das Gleichheits- oder Ungleichheitszeichen
verwendet wird, nach dem die Zeilen ausgerichtet werden sollen.
Der Befehl \verb|\\| trennt die Zeilen.
\exa
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x       \\
f'(x) & = & -\sin x     \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &
 = & \sin x
\end{eqnarray}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x       \\
f'(x) & = & -\sin x     \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &
 = & \sin x
\end{eqnarray}
\end{verbatim}
\exc

{\bf Zu lange Gleichungen} werden von \LaTeX\ {\it nicht\/}
automatisch abgeteilt.
Der Autor mu"s bestimmen, an welcher Stelle abgeteilt
und wie weit einger"uckt werden soll.
Meistens verwendet man daf"ur eine der beiden folgenden Varianten:
\exa
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
     +\frac{x^{5}}{5!} -
                    \nonumber\\
 & & -\frac{x^{7}}{7!} + \cdots
\end{eqnarray}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
     +\frac{x^{5}}{5!} -
                    \nonumber\\
 & & -\frac{x^{7}}{7!} + \cdots
\end{eqnarray}
\end{verbatim}
\exc
\exa
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
     -\frac{x^{2}}{2!} + }
                    \nonumber\\
 & & +\frac{x^{4}}{4!}
     -\frac{x^{6}}{6!} + \cdots
\end{eqnarray}
\exb
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
     -\frac{x^{2}}{2!} + }
                    \nonumber\\
 & & +\frac{x^{4}}{4!}
     -\frac{x^{6}}{6!} + \cdots
\end{eqnarray}
\end{verbatim}
\exc
Der Befehl \verb|\nonumber| bewirkt, da"s an diese Stelle
keine Gleichungsnummer gesetzt wird.
Der Befehl \verb|\lefteqn| erm"oglicht Ausnahmen von der
Spaltenaufteilung innerhalb {\tt eqnarray}.
Genauere Informationen enth"alt das \manual.





