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\documentstyle[din_a4]{article}
\begin{document}
{\rm\sloppy
%%%%%%%%%%%% �berschrift: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline {\hfill\LARGE  --- DERICALC V.1.0 --- \hfill}
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%%%%%%%%% Text: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\hfill\bf  Allgemeines zum Programm  \hfill}

\noindent\underline{\bf Eingabe von Funktionen:}
Funktionen werden in einer speziell daf�r vorgesehenen Dialogbox
eingegeben, die �hnlich der File-Selectorbox des Atari arbeitet.
Um eine Funktion zu definieren, f�hrt man mit dem Textcursor auf
ein freies Textfeld in der Dialogbox und gibt die Funktion �ber
der Tastatur ein. Um nun eine Funktion zu  verwenden, klickt man 
das entsprechende Feld an, bis dieses Schwarz
wird, und dr�ckt anschlie�end Return bzw. den OK-Button auf dem 
Bildschirm. Hat man es sich anders �berlegt, klickt man den Abbruch-
Button an. Die Dialogbox erscheint immer, wenn in einem Men�punkt
eine Funktionseingabe erforderlich ist. Sie l��t sich auch einzeln 
�ber den Men�punkt {\it Funktion eingeben} aufrufen.

\noindent\underline{\bf Erlaubte Ausdr�cke:}
F�r Funktionen sind die normalen Rechenzeichen +,-,*,/ sowie die
Potenzierung \^{ } erlaubt.
Nat�rlich gilt Punkt- vor Strichrechnung.
An Standardfunktionen sind definiert: 
$$ sin,cos,tan,arcsin,arccos,arctan,sinh,cosh,tanh,exp,ln,abs  $$
$$ sqr,sqrt $$
Hierbei stellt abs den Absolutbetrag dar. Achtung: sqr stellt im 
Gegensatz zu z.B. BASIC das Quadrat dar, sqrt bezeichnet die
Quadratwurzel! Zu beachten ist au�erdem, da� die hyperbolischen
Funktionen zwar berechnet werden, jedoch vom Differenziator nicht
erkannt werden, also nicht in Men�punkten verwendet werden darf, 
in denen die Funktion abgeleitet wird. 

Weiterhin k�nnen in Funktionsdefinitionen die Konstanten a-k 
verwendet werden, soweit sie im Men� {\it Konstanten } definiert 
wurden. Nat�rlich sind auch beliebige numerische Konstanten 
erlaubt. Diese k�nnen in normaler Flie�kommaschreibweise, also
z.B.  $ 0.0025 $  oder aber in Exponentialschreibweise  $ 2.5e-3 $
eingegeben werden. Achtung:Numerische Konstanten k�nnen ein 
negatives Vorzeichen haben, nicht aber symbolische. Die Eingabe
$ -a*x $ f�hrt also zu einem Fehler.

Die Funktionen k�nnen von den Variablen x,y,z und t abh�ngen.
Klammern sind in beliebiger Tiefe erlaubt. Das Programm
verlangt grunds�tzlich Kleinschreibung.

Zu beachten sind noch einige Regeln f�r einzelne Me\-n�\-punk\-te:
F�r den Me\-n�\-punkt {\it Funktionenschar } ist es n�tig, da� die 
Funktion von einem Scharparameter a abh�ngt. F�r den Punkt 
{\it Fehlerrechnung} darf die Funktion von mehreren v�llig beliebigen
Variablen abh�ngen.

\centerline{\hfill\bf  Das Men� FILE \hfill}

\noindent\underline{\bf Terme laden / speichern :}
Hier k�nnen vorher definierte Funktionen gespeichert bzw. wieder
geladen werden. Gespeichert wird der komplette Inhalt der Funktions-
Auswahlbox und s�mtliche Konstanten.

\noindent\underline{\bf Bilder laden /  speichern :}
Fertig erstellte Grafiken k�nnen im Screen-Format abgespeichert 
und mit einem Zeichenprogramm weiterbearbeitet werden.

\noindent\underline{\bf System-Hardcopy :} Aufruf der System-Hardcopy-
Routine XBIOS 20. Abbruch der Routine mit ALT-HELP.

\noindent\underline{\bf Quit :} Wie der Name schon sagt...

\centerline{\hfill\bf  Das Men� Funktionen \hfill}

In diesem Men� befinden sich Routinen zur symbolischen und numerischen
Bearbeitung von Funktionen. 

\noindent\underline{\bf Funktionen editieren  :}
Mit diesem Punkt wird die Funktionsauswahl-Dialogbox aufgerufen, um 
Funktionen zu ver�ndern.

\noindent\underline{\bf Funktion ableiten :}
Die symbolische 1.Ableitung der Funktion wird gebildet und ausgegeben.
Differenziert wird nach der in {\it Optionen} ausgew�hlten Variablen,
normalerweise x. Der ermittelte Funktionsstring kann in die Funktions
- Auswahlbox �bernommen werden. Zu diesem Zweck  erscheint eine Alert-Box.
Achtung: Ist der Funktionsstring zu lang f�r die Dialogbox, kann das
evt. zum Absturz f�hren. Man sollte also zu lange Strings nicht
�bernehmen! 

\noindent\underline{\bf Taylorentwicklung :}
Die Taylorreihe einer Funktion stellt eine N�herung dieser Funktion
als Polynom innerhalb einer kleinen Umgebung des Entwicklungspunktes dar.
Die Formel lautet:
$$ f(x_0+\Delta x) \approx \sum_{i=0}^n {f^{(i)}(x_0)\over i!} \Delta x^i $$ 
Die Ordnung der Entwicklung(d.h. die Ordnung des zu errechnenden Polynoms)
sowie der Entwicklungspunkt (meistens 0) wird in der erscheinenden 
Dialogbox eingegeben.  
Die H�he der Ordnung ist an sich unbegrenzt, man sollte
jedoch keine Ordnung gr��er 5 w�hlen, da das zu Speicherproblemen
sprich Absturz f�hren kann. 
Das fertige Taylorpolynom kann wie bei der Routine {\it Funktion 
ableiten} als Formel �bernommen werden.

\noindent\underline{\bf Konstanten festlegen :}
In diesem Men�punkt k�nnen die Konstanten f�r die Funktionsdefinitionen 
Festgelegt werden. Angaben in Flie�komma- oder Exponentialschreibweise.

\noindent\underline{\bf Funktionswert :}
Hier k�nnen numerisch Werte einer Funktion ermittelt werden. Nach der
Auswahl der Funktion braucht nur die x-Werte eingegeben zu werden, 
$ f(x) $ wird anschlie�end ausgegeben. Man verl��t den Men�punkt
mit Eingabe von q.

\noindent\underline{\bf Ableitungswert :} Entspricht der Routine 
{\it Funktionswert }, nur mit der 1. Ableitung.

\noindent\underline{\bf Bestimmtes Integral:} Das Integral einer 
Funktion wird nach der Simpson-Methode numerisch berechnet. In 
der Dialogbox sind die Integrationsgrenzen sowie eine
Integrationskonstante anzugeben. Die Integrationskonstante sollte
normalerweise null sein.

\noindent\underline{\bf Nullstellen:}Diese Routine erm�glicht die
numerische N�herung von Nullstellen einer Funktion, wenn diese in 
etwa bekannt sind. Soll eine Funktion nach Nullstellen abgesucht werden,
sollte die Routine {\it Kurvendiskussion} benutzt werden. Es stehen
zwei Berechnungsmethoden zur Verf�gung:

F�r die Berechnungsmethode nach {\it Newton} ist es n�tig, da� an der
Entwicklungsstelle der Betrag der 1. Ableitung kleiner als 1 ist, damit
die Entwicklungsfolge konvergiert. Andernfalls wird eine Warnmeldung
ausgegeben. Es ist nur ein Startwert anzugeben. Die verwendete  Formel
 lautet:
$$ x_{n+1} = x_n-{f'(x_n) \over f(x_n)} $$

Bei der {\it Bisektion} sind 2 Werte anzugeben, zwischen denen die 
Nullstelle liegen mu�. Dabei m�ssen die Funktionswerte der beiden
Starwerte verschiedene Vorzeichen haben. 

\noindent\underline{\bf Differentialgleichungen :}
Bei der numerischen Integration von DGLn mu� ebenfalls der 
Integrationsbereich sowie die Integrationskonstanten eingegeben 
werden. Berechnet wird nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.
Die Ausgabe erfolgt wahlweise auf Screen oder Drucker.

Eine Besonderheit zur Notation: Die ausgew�hlte Funktion wird als
die jeweilige erste oder zweite Ableitung von y  nach x interpretiert,
d. h. die Definition f1=-2*y w�rde als DGL 1.Ordnung  mathematisch
 bedeuten $$ {\partial y \over \partial x} = -2y $$
Die entsprechenden Werte sind die Werte von y in Abh�ngigkeit von x.

Bei DGLn 2. Ordnung wird die definierte Formel als zweite Ableitung
von y nach x und  der Ausdruck z als erste Ableitung von y nach x
verwendet. Die Formel f1=3*z-2*y bedeutet also 
$$ {\partial^2 y \over \partial x^2} = 3{\partial y \over \partial x}
 - 2 y $$    

\centerline{\hfill\bf  Das Men� Grafik \hfill}

Dieses Men� erm�glicht die grafische Ausgabe der Funktionsterme.

\noindent\underline{\bf Funktion zeichnen :} Dieser Men�punkt stellt
die ausgew�hlte Funktion auf dem Bildschirm dar. Dabei wird der 
in der Dialogbox {\it Zeichenbereich} eingestellte Bereich 
dargestellt und die in {\it Optionen} angegebenen Einstellungen 
ber�cksichtigt. Au�erdem werden die Einstellungen {\it Y 
Automatik} und {\it Y anpassen} ber�cksichtigt.
 Genauso wie dieser Men�punkt verhalten sich die 3 
folgenden,{\bf 1.,2.}und{\bf 3.Ableitung zeichnen}

\noindent\underline{\bf Stammfunktion zeichnen:}Eine Stammfunktion 
der ausgew�hlten Funktion wird numerisch nach der Simpson-Methode
berechnet und gezeichnet. Zu beachten ist, da� die Stammfunktion 
nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt ist. Diese 
Integrationskonstante wird vorher abgefragt. Das Programm verh�lt 
sich ansonsten genauso wie bei {\it Fkt. zeichnen}, jedoch wird 
{\it Y Automatik} nicht beachtet.

\noindent\underline{\bf Funktionenschar:}Wie {\it Fkt. zeichnen}, 
jedoch wird diesmal eine ganze Funktionenschar gezeichnet. Diese 
mu� von einem Scharparameter a abh�ngen, f�r den in einer 
Dialogbox Start-,Zielwert und Schrittweite angegeben werden.

\noindent\underline{\bf DGLn zeichnen:}Diese 
beiden Men�punkte entsprechen den Men�punkten im {\it 
Funktionen} - Men�, jedoch wird das Ergebnis grafisch 
dargestellt. Die grafische Ausgabe verh�lt sich wie bei {\it 
Stammfkt. zeichnen}

\noindent\underline{\bf Zeichenbereich:}Hier kann der gew�nschte 
Zeichenbereich in Flie�komma- oder Exponentialschreibweise 
eingegeben werden. Die Eingabe f�r die X-Achse gilt auf alle 
F�lle, die Eingabe f�r die Y-Achse wird evt. bei Anwahl der 
Men�punkte {\it Y Automatik} bzw. {\it Y anpassen} ignoriert.

\noindent\underline{\bf Y Automatik:}Die zu berechnende Funktion 
wird, bevor sie gezeichnet wird, schon einmal berechnet und dann 
der optimale Y-Bereich eingestellt. Die Werte in der Dialogbox 
von {\it Zeichenbereich} werden nicht ver�ndert. Dieser Men�punkt 
funktioniert nur bei {\it Fkt. zeichnen} sowie {\it 1.-3. Ableitung 
zeichnen}.

\noindent\underline{\bf Y anpassen:} Der Y-Zeichenbereich wird so 
angepa�t, da� er im selben Ma�stab wie der X-Bereich auf dem 
Bildschirm abgebildet wird, d.h. die Grafik erscheint ohne 
Verzerrung. Die Werte in der Dialogbox von {\it Zeichenbereich}
werden nicht ver�ndert 

\noindent\underline{\bf Lupe:} Der Zeichenbereich kann durch 
ziehen einer Rubberbox ver�ndert werden. Der neue Zeichenbereich 
wird erst endg�ltig ver�ndert, wenn eine neue Funktion gezeichnet 
wird, d.h. die Einstellung kann noch korrigiert werden. Es gilt 
jeweils die letzte Einstellung. Die Funktion Lupe stellt nur eine 
Neudefinition des Zeichenbereiches dar, keine Vergr��erung des 
schon gezeichneten Grafen. Dieser mu� noch einmal separat mit 
{\it Fkt. zeichnen} o.�. aufgerufen werden. Der neue 
Zeichenbereich wird �brigens in die Dialogbox von {\it 
Zeichenbereich} eingetragen.

\noindent\underline{\bf Optionen:}Hier k�nnen alle m�glichen 
Parameter eingestellt werden, die (zum gr��ten Teil) mit der 
Grafikdarstellung zu tun haben, als da w�ren:

Skalierung: An die Achsenkreuze wird ein Ma�stab gezeichnet. Die 
Schrittweite des Ma�stabes wird ebenfalls in der Dialogbox 
eingestellt.

Raster: Ein Linienraster wird gezeichnet.

Bild puffern: Das bestehende Bild wird nicht bei jedem 
neuzeichnen gel�scht, sondern bleibt bestehen. Auf diese Weise 
lassen sich mehrere Funktionen nebeneinander darstellen. Achtung: 
Die Funktion bleibt bestehen, auch wenn ein anderer 
Zeichenbereich gew�hlt wurde. In diesem Fall den Men�punkt {\it 
Bild l�schen} verwenden.

Darstellung auf der X-Achse: hier kann gew�hlt werden, von 
welcher Variablen die Funktion abh�ngen soll, man kann also auch 
eine Funktion z.B. f(t) definieren. Diese Einstellung wird auch 
bei der Differentiation ber�cksichtigt.

Mathematische Fehler ignorieren: Das Programm besitzt eine eigene 
Routine f�r die Behandlung von math. Fehlern(z.B. Division durch 
0, Bereichs�berschreitung). Im Textmodus (z.B. {\it Rechner}) 
wird eine detaillierte Beschreibung des Fehlers ausgegeben, bei 
der Grafikausgabe erscheint nur eine Alert-Box, um die Grafik 
nicht zu zerst�ren. Da dies aber ziemlich l�stig sein kann und 
auftretende Fehler meistens nur Definitionsl�cken darstellen, die 
man sowieso kennt, l��t sich diese Fehlerroutine durch anw�hlen 
des Buttons abstellen.

\noindent\underline{\bf Bild l�schen/Bild zeigen:}Mit der ersten 
Routine l��t sich ein Flag setzen, damit der Bildpuffer beim n�chsten 
Aufruf einer Zeichenfunktion nicht neu gezeichnet, sondern 
gel�scht wird. Das ist n�tzlich, wenn der Punkt {\it Bild 
puffern} angew�hlt wurde, man aber wieder von vorne zeichnen 
m�chte. Mit dem zweiten Men�punkt wird der Bildpuffer neu 
gezeichnet, etwa wenn der Bildschirminhalt etwa durch ein 
Accessorie zerst�rt wurde.

\centerline{\hfill\bf  Das Men� Spezial \hfill}   

\noindent\underline{\bf Kurvendiskussion:}
Kurvendiskussion ist ein bi�chen �bertrieben f�r diesen 
Men�punkt, er dient dazu, eine Funktion in einem bestimmten 
Bereich  nach Nullstellen sowie nach 
lokalen Extrema und Wendepunkten zu untersuchen. Dazu ist 
zun�chst der Bereich anzugeben, danach die Genauigkeit (100 ist 
ein guter Wert, je h�her, desto genauer). Den Rest sehe man 
selbst. Die Ausgabe erfolgt wahlweise auf Screen, Drucker oder 
Diskette. Einen Haken hat die Sache jedoch: Die Berechnung der 
Nullstellen erfolgt nach Bisektion, was relativ schnell geht, 
jedoch den Nachteil hat, da� nur Nullstellen erkannt werden, bei 
denen der Graph die Funktion schneidet. Bei der Funktion $ x^2 $ 
wird die Nullstelle also glatt �bersehen. Die Routine soll aber 
nur ein Hilfsmittel darstellen, deshalb wurde auf einen 
komplizierteren Algorithmus verzichtet.

\noindent\underline{\bf Fehlerfortpflanzung:}Diese Routine wird 
jeder zu sch�tzen wissen, der sich schon mal mit einem 
Physikpraktikum herumschlagen mu�te. Die Errechnung eines 
Gesamtfehlers nach Gau� von Hand ist n�mlich eine ganz sch�ne 
Arbeit, und die meisten Me�wertprogramme geben nur das Ergebnis, 
nicht jedoch die Rechenschritte aus. (Was aber gerade in 
An\-f�n\-ger\-prak\-ti\-kas von vielen computerhassenden Assis verlangt 
wird, nach dem Motto "Ihr sollt ja lernen wie es geht." Hier 
schafft diese Routine abhilfe, die eine komplette Fehlerrechnung 
nach Gau� inkl. Zwischenschritte auf Drucker, Screen oder Disk 
ausgibt. Die Formel f�r den Gesamtfehler einer Funktion, die von 
den Variablen $ x_1 $ bis $ x_n $ abh�ngt, die jeweils mit dem 
Me�fehler $ \Delta x_i $ behaftet sind, lautet
$$ \Delta f(x_1,...,x_i)=\sqrt{ \sum_{i=12}^n \left({\partial f \over 
\partial x_i} \Delta x_i \right)^2} $$.
Die ausgew�hlte Funktion kann von beliebig vielen Variablen 
mit beliebigen Namen abh�ngen, das Programm stellt sich selbst 
eine Variablenliste zusammen und fragt Werte, Fehler und Einheit  dieser 
Variablen ab.Alles weitere macht das Programm.   

\noindent\underline{\bf Rechner:}Diese Routine dient dazu, da� 
man w�hrend der Arbeit mit dem Programm nicht dauernd zum 
Taschenrechner greifen mu�. Es k�nnen beliebige Ausdr�cke mit den 
selben Syntaxregeln wie f�r Funktionsdefinitionen berechnet 
werden, lediglich die Abh�ngigkeit von x,y,z oder t ist nicht 
erlaubt. Ende mit Eingabe von q.

\noindent\underline{\bf Hilfsprogramme:}
Diese 3 Men�punkte stellen quasi eine Mini-Shell dar, �ber die 
bei der Arbeit mit dem Programm h�ufig ben�tigte Hilfsprogramme 
aufgerufen werden k�nnen, ohne das Programm zu verlassen. Zur 
Definition der Pfade f�r die Programme w�hlt man {\it 
Installation}. Hinweis: Bei der TOS-Version 1.4 werden in den 
File-Select-Boxen  durch das Programm Meldungen 
ausgegeben, was bei anderen TOS-Versionen nicht der Fall 
ist.(Das Programm l�uft mit diesen  aber trotzdem.)
 Die Meldungen sind bei den 
anderen Men�punkten nicht so wichtig, Bei {\it Installation} 
kommt es aber sehr darauf an, deshalb f�r alle, die nicht TOS 1.4 
bezitzen: In der ersten Fileselectbox ist der Pfad f�r den Texteditor 
anzugeben, in der zweiten der Pfad f�r das Zeichenprogramm. Da 
dieser Men�punkt nur sehr selten aufgerufen wird, habe ich mir 
nicht mehr M�he gemacht. Ist die Installation einmal vorgenommen, 
kann von nun an �ber die Men�punkte {\it Texteditor} bzw. {\it 
Zeichenprogramm}das jeweilige Hilfsprogramm aufgerufen werden. 

\noindent\underline{\bf Panik:} Hier wird ein kurzer Text �ber 
die Syntax-Regeln des Programmes ausgegeben.

 


}
\end{document}
