2.  Grundlagen
  
2.1  Grundwasserabsenkung als pseudostation„rer Vorgang
   
Die grundlegenden Beziehungen sind die Kontinuit„tsgleichung und das Darcy-
sche St”mungsgesetz  v=k*I [m/s]. Als Str”mungsgef„lle wird mit I=dz/dl
die Steigung der Absenkungsfl„che eingef�hrt. Dieser N„herungsansatz ist f�r
kleinere Gef„llewerte brauchbar. In der N„he der Brunnen treten gr”žere Ver-
tikalstr”mungen auf, so daž mit v=k*dz/dl das Str”munsverhalten nicht rich-
tig erfažt wird und die berechneten Absenkungen s im Bereich der Brunnen 
ungenau werden.
    
Aus der Kontinuit„tsgleichung und dem Darcyschen Str”mungsgesetz lassen sich
bei nur einem Brunnen im Falle der GW-Absenkung (A) bzw. der GW-Entspannung
(E) die folgenden Gleichungen f�r die Wassermenge Q [m^3/s] ableiten:
    
   (A1)    Q=Pi*k*(H*H-z*z)/(ln(R)-ln(r1))
   (E1)    Q=2*Pi*k*m*(H-z)/(ln(R)-ln(r1))
   
z = Wasserspiegelordinate in der Entfernung r1 vom Brunnen, R = Reichweite.
   
Betrachtet man n Brunnen mit dem gleichen Zulauf q=Q/n, so ergeben sich die
Mehrbrunnenformeln nach Forchheimer:
    
   (A2)   Q=Pi*k*(H*H-z*z)/(ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri))
   (E2)   Q=2*Pi*k*m*(H-z)/(ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri))

z = Wasserspiegelordinate im Punkt x,y, ri = Entfernung des Punktes zum
Brunnen i. Die Summe ist �ber die n Brunnen zu bilden.
Summe ln(ri) = ln(r1)+ln(r2)+ ....... +ln(rn)
   
Mit der Reichweite wird die Randbedingung z=H f�r r1=R bzw. 1/n*Summe ln(ri)
=R erf�llt. Man geht von der Vorstellung aus, daž der Zufluž zu dem von der
Reichweite erfažten Bodenk”rper so grož ist wie die abgepumpte Wassermenge.
F�r diesen so definierten Beharrungszustand kann der abgesenkte GW-Spiegel
mit den angegebenen Gleichungen berechnet werden. Bei kritischer Betrachtung
(woher kommt der Zufluž?) ergeben sich jedoch Schwierigkeiten. Es wird
unter Ziffer 2.3 gezeigt, daž sich diese Berechnungsmethode als N„herungs-
verfahren des raumzeitlichen Vorganges begr�nden l„žt.
   
Liegt die Schichtgrenze des wasserf�hrenden Bodens (Grundwasserleiter)
unterhalb der Brunnensohlen, so spricht man von unvollkommenen Brunnen.
Es werden die oben aufgef�hrten Formeln als N„herungen verwendet, die zu
f”rdernde Wassermenge ist mit dem Faktor fu=1.1 bis 1.3 zu vergr”žern. Der 
geringe Zuschlag wird mit dem meist kleinen Durchl„ssigkeitsbeiwert kv f�r
vertikale Wasserstr”mung im Vergleich mit dem Beiwert kh f�r horizontale
St”mung begr�ndet (kv/kh<1/3 ... 1/10).

2.2  Grundwasserabsenkung als raumzeitlicher Vorgang
    
                               Aus einem Grundwassersee wird mit einem Rohr-
                               brunnen die Wassermenge Q gef”rdert. In dem
                               Zeitintervall dt gibt das entw„sserte Volumen
                               dVol die Wasser'menge' dVol*p ab mit p als
        Bild 2                 nutzbaren Porenanteil. F�r den Zylindermantel
                               mit dem Radius x besteht die Beziehung
                                   Wasservolumen=2*Pi*x*z*v*dt=dVol*p .
                               Hieraus l„žt sich eine Differentialgleichung
                               ableiten, die nur dann eine geschlossene L”sung
                               liefert, wenn f�r z=m=konst. gesetzt wird.
                               Nach Theis ist die L”sung f�r GW-Entspannug :
    
   
  (E3)    Q=4*k*Pi*m*(H-z(x,t))/w(u)    mit der Reihenentwicklung
          w(u)=c+ln(u)+u-u^2/(2*2!)+u^3/(3*3!)-u^4/(4*4!)+- ...
          c=0.57721... die Eulersche Konstante
          u=x*x*p/(4*t*k*m),   t=Zeit
    
Diese Formeln gelten auch f�r Grundwasserabsenkung unter der Voraussetzung
kleiner Absenkung s=(H-z)<<H, dann ist m=H zu setzen. Um eine Mehrbrunnen- 
formel f�r den Fall GW-Absenkung ohne Voraussetzung s<<H zu erhalten, wird
(E3) in zwei Schritten manipuliert. Zuerst vergleicht man (A1 und (E1) und
erkennt, daž f�r GW-Absenkung 2*(H-z)*m=H*H-z*z zu setzen ist. Nun wird (A1)
und (A2) verglichen mit dem Ergebnis ln(r1) bzw. ln(x)=(1/n)*Summe ln(ri) .
Man gewinnt also die Mehrbrunnenformel �ber x=exp((1/n)*Summe ln(ri)) 
und erh„lt die N„herungsl”sung f�r GW-Absenkung nach Theis/Jakob :
   
   (A3)  Q=2*Pi*k*(H*H-z(x,y,t)^2)/w(u)   [m^3/s]   mit
         w(u)=c+ln(u)+u-u^2/(2*2!)+u^3/(3*3!)-u^4/(4*4!)+- ...
         c=0.57721 56649 01533...
         u=p*exp((2/n)*Summe ln(ri))/(4*t*k*H)
   
2.3  Vergleich des pseudostation„ren und des raumzeitlichen Vorganges
   
Die beschriebene Formelmanipulation f�hrt zu einer Angleichung der Bezie-
hungen (A2) und (A3). Die Gleichungen w„ren identisch, wenn sich f�r
   ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri) ?= w(u)/2  ergibt. 
F�r Punkte x,y innerhalb oder in der N„he der Baugrube und gr”žerer Zeit t
ist im Normalfall u<0.01 . Dann wird in guter N„herung w(u) = c+ln(u) und
   
   ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri) = (c+ln(u))/2 
   ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri) = (c+ln(p*exp((2/n)*Summe ln(ri))/(4*t*k*H)))/2
                          R = 2*exp(-c/2)*sqr(t*k*H/p) ~ 1.5*sqr(t*k*H/p) 
   
Die Gleichung (A2) des pseudostation„ren Vorganges ist somit unter der Vor-
aussetzung u<0.01 eine gute N„herung der Beziehung (A3) des raumzeitlichen
Vorganges, wenn mit der Reichweite R=1.5*sqr(t*k*H/p) gearbeitet wird.
In gr”žerer Entfernung sind die Unterschiede betr„chtlich. Die raumzeitliche
Beziehung (A3) zeigt den zu fordernden asymptotischen Verlauf f�r die Ab-
senkung s nach 0, w„hrend die Gleichung (A2) in der Entfernung R die Rand-
bedingung s=0 erf�llt, aber in noch gr”žerer Entfernung negative Werte s
liefert. Mit der Programmfunktion {GW-Spiegel,Schnitt} kann dieses Verhalten
besonders deutlich sichtbar gemacht werden, wenn ein geeigneter Bildmažstab
gew„hlt wird. Hierzu das Bild 'VERGLCH.PIC' aus dem Ordner BEISPIEL, das mit
{Datei,Bild laden...} von der Diskette geladen werden kann.
   
Literatur: Herth,Arndts / Theorie u. Praxis der Grundwasserabsenkung,
           2.Auflage, Verlag Ernst & Sohn