2. Grundlagen 2.1 Grundwasserabsenkung als pseudostation„rer Vorgang Die grundlegenden Beziehungen sind die Kontinuit„tsgleichung und das Darcy- sche St”mungsgesetz v=k*I [m/s]. Als Str”mungsgef„lle wird mit I=dz/dl die Steigung der Absenkungsfl„che eingefhrt. Dieser N„herungsansatz ist fr kleinere Gef„llewerte brauchbar. In der N„he der Brunnen treten gr”žere Ver- tikalstr”mungen auf, so daž mit v=k*dz/dl das Str”munsverhalten nicht rich- tig erfažt wird und die berechneten Absenkungen s im Bereich der Brunnen ungenau werden. Aus der Kontinuit„tsgleichung und dem Darcyschen Str”mungsgesetz lassen sich bei nur einem Brunnen im Falle der GW-Absenkung (A) bzw. der GW-Entspannung (E) die folgenden Gleichungen fr die Wassermenge Q [m^3/s] ableiten: (A1) Q=Pi*k*(H*H-z*z)/(ln(R)-ln(r1)) (E1) Q=2*Pi*k*m*(H-z)/(ln(R)-ln(r1)) z = Wasserspiegelordinate in der Entfernung r1 vom Brunnen, R = Reichweite. Betrachtet man n Brunnen mit dem gleichen Zulauf q=Q/n, so ergeben sich die Mehrbrunnenformeln nach Forchheimer: (A2) Q=Pi*k*(H*H-z*z)/(ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri)) (E2) Q=2*Pi*k*m*(H-z)/(ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri)) z = Wasserspiegelordinate im Punkt x,y, ri = Entfernung des Punktes zum Brunnen i. Die Summe ist ber die n Brunnen zu bilden. Summe ln(ri) = ln(r1)+ln(r2)+ ....... +ln(rn) Mit der Reichweite wird die Randbedingung z=H fr r1=R bzw. 1/n*Summe ln(ri) =R erfllt. Man geht von der Vorstellung aus, daž der Zufluž zu dem von der Reichweite erfažten Bodenk”rper so grož ist wie die abgepumpte Wassermenge. Fr diesen so definierten Beharrungszustand kann der abgesenkte GW-Spiegel mit den angegebenen Gleichungen berechnet werden. Bei kritischer Betrachtung (woher kommt der Zufluž?) ergeben sich jedoch Schwierigkeiten. Es wird unter Ziffer 2.3 gezeigt, daž sich diese Berechnungsmethode als N„herungs- verfahren des raumzeitlichen Vorganges begrnden l„žt. Liegt die Schichtgrenze des wasserfhrenden Bodens (Grundwasserleiter) unterhalb der Brunnensohlen, so spricht man von unvollkommenen Brunnen. Es werden die oben aufgefhrten Formeln als N„herungen verwendet, die zu f”rdernde Wassermenge ist mit dem Faktor fu=1.1 bis 1.3 zu vergr”žern. Der geringe Zuschlag wird mit dem meist kleinen Durchl„ssigkeitsbeiwert kv fr vertikale Wasserstr”mung im Vergleich mit dem Beiwert kh fr horizontale St”mung begrndet (kv/kh<1/3 ... 1/10). 2.2 Grundwasserabsenkung als raumzeitlicher Vorgang Aus einem Grundwassersee wird mit einem Rohr- brunnen die Wassermenge Q gef”rdert. In dem Zeitintervall dt gibt das entw„sserte Volumen dVol die Wasser'menge' dVol*p ab mit p als Bild 2 nutzbaren Porenanteil. Fr den Zylindermantel mit dem Radius x besteht die Beziehung Wasservolumen=2*Pi*x*z*v*dt=dVol*p . Hieraus l„žt sich eine Differentialgleichung ableiten, die nur dann eine geschlossene L”sung liefert, wenn fr z=m=konst. gesetzt wird. Nach Theis ist die L”sung fr GW-Entspannug : (E3) Q=4*k*Pi*m*(H-z(x,t))/w(u) mit der Reihenentwicklung w(u)=c+ln(u)+u-u^2/(2*2!)+u^3/(3*3!)-u^4/(4*4!)+- ... c=0.57721... die Eulersche Konstante u=x*x*p/(4*t*k*m), t=Zeit Diese Formeln gelten auch fr Grundwasserabsenkung unter der Voraussetzung kleiner Absenkung s=(H-z)<<H, dann ist m=H zu setzen. Um eine Mehrbrunnen- formel fr den Fall GW-Absenkung ohne Voraussetzung s<<H zu erhalten, wird (E3) in zwei Schritten manipuliert. Zuerst vergleicht man (A1 und (E1) und erkennt, daž fr GW-Absenkung 2*(H-z)*m=H*H-z*z zu setzen ist. Nun wird (A1) und (A2) verglichen mit dem Ergebnis ln(r1) bzw. ln(x)=(1/n)*Summe ln(ri) . Man gewinnt also die Mehrbrunnenformel ber x=exp((1/n)*Summe ln(ri)) und erh„lt die N„herungsl”sung fr GW-Absenkung nach Theis/Jakob : (A3) Q=2*Pi*k*(H*H-z(x,y,t)^2)/w(u) [m^3/s] mit w(u)=c+ln(u)+u-u^2/(2*2!)+u^3/(3*3!)-u^4/(4*4!)+- ... c=0.57721 56649 01533... u=p*exp((2/n)*Summe ln(ri))/(4*t*k*H) 2.3 Vergleich des pseudostation„ren und des raumzeitlichen Vorganges Die beschriebene Formelmanipulation fhrt zu einer Angleichung der Bezie- hungen (A2) und (A3). Die Gleichungen w„ren identisch, wenn sich fr ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri) ?= w(u)/2 ergibt. Fr Punkte x,y innerhalb oder in der N„he der Baugrube und gr”žerer Zeit t ist im Normalfall u<0.01 . Dann wird in guter N„herung w(u) = c+ln(u) und ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri) = (c+ln(u))/2 ln(R)-(1/n)*Summe ln(ri) = (c+ln(p*exp((2/n)*Summe ln(ri))/(4*t*k*H)))/2 R = 2*exp(-c/2)*sqr(t*k*H/p) ~ 1.5*sqr(t*k*H/p) Die Gleichung (A2) des pseudostation„ren Vorganges ist somit unter der Vor- aussetzung u<0.01 eine gute N„herung der Beziehung (A3) des raumzeitlichen Vorganges, wenn mit der Reichweite R=1.5*sqr(t*k*H/p) gearbeitet wird. In gr”žerer Entfernung sind die Unterschiede betr„chtlich. Die raumzeitliche Beziehung (A3) zeigt den zu fordernden asymptotischen Verlauf fr die Ab- senkung s nach 0, w„hrend die Gleichung (A2) in der Entfernung R die Rand- bedingung s=0 erfllt, aber in noch gr”žerer Entfernung negative Werte s liefert. Mit der Programmfunktion {GW-Spiegel,Schnitt} kann dieses Verhalten besonders deutlich sichtbar gemacht werden, wenn ein geeigneter Bildmažstab gew„hlt wird. Hierzu das Bild 'VERGLCH.PIC' aus dem Ordner BEISPIEL, das mit {Datei,Bild laden...} von der Diskette geladen werden kann. Literatur: Herth,Arndts / Theorie u. Praxis der Grundwasserabsenkung, 2.Auflage, Verlag Ernst & Sohn