Beispiel fr "FFT..." im Mentitel "Numerik" "FFT" erlaubt die Berechnung von Fouriertransformationen, inversen Fouriertransformationen und Leistungsspektren. Dabei k”nnen Sie zus„tzlich ein sogenanntes 'windowing' nutzen, um z.B. 'Schwebungseffekte' (Aliasing) der Fouriertransformierten zu unterdrcken. In unserem Beispiel wollen wir uns generell auf die Berechnung von Leistungsspektren beschr„nken. Im ersten Teil werden wir uns mit dem im Beispiel 'Parser' erzeugten Rechteckdatensatz besch„ftigen, im zweiten Teil kmmern wir uns dann um die Wirkung der Fensterfunktionen. Allgemeines: Kl„ren wir zun„chst einmal kurz die prinzipielle Funktion der Dialogbox "Fouriertransformation". Damit Sie diese berhaupt sehen k”nnen, gehen Sie wie folgt vor: - ™ffnen Sie ein "neues Diagrammfenster" (unter "Fenster" der Hauptmenzeile) - Laden Sie die fr den ersten Teil des Beispiels vorgesehene Datei "RECHTECK.DAT". - W„hlen Sie den Menpunkt "FFT..." im "Numerik" Men der Menzeile des Diagrammfensters. Sie sehen nun in der Dialogbox die Felder "Datensatz", "Gr”že des Zieldatensatzes", "Operation", "Fensterfunktion" und "Gr”že". Natrlich auch noch die Kn”pfe "Ok" und "Abbruch" zum Verlassen der Dialogbox. Das Feld "Datensatz" drfte Ihnen bekannt sein. Es dient der Auswahl von Quell- und Zieldatensatz. Der wesentliche Unterschied zu den vorigen Feldern dieser Art ist aužer der Anzahl der Popupboxen die Textzeile, in der Sie die Information ber die Punktanzahl des Quelldatensatzes erhalten. Im Feld "Gr”že des Zieldatensatzes" gibt Infinity Ihnen in der Zeile x-max den maximalen x-Wert der Fouriertransformierten und in der Zeile x-Schritt deren x-Schrittweite an. x-max h„ngt von der (x-)Schrittweite Ihres Ausgangsdatensatzes ab. Je kleiner die Schrittweite, umso gr”žer ist x-max.; x-Schritt der Fouriertransformierten h„ngt entsprechend von den Extremwerten (und der Punktanzahl) ihres Ausgangsdatensatzes ab. Den Wert fr Benutzer x-max k”nnen Sie editieren. Damit l„žt sich der Darstellungsbereich der Fouriertransformierten einschr„nken (wir werden dies im Beispiel sehen). Das Feld "Operation" bietet Ihnen die Wahl zwischen der Berechnung der Fouriertransformation, der inversen Fouriertransformation und der Berechnng des Leistungsspektrums. Das Leistungsspektrum ist das Betragsquadrat der Fouriertransformierten. Anstelle das Leistungsspektrum ber den vorgesehenen Knopf zu berechnen, k”nnten Sie auch den Knopf Fouriertransformation w„hlen und die restlichen Operationen 'zu Fuž' mit "Rechnen" durchfhren. Die Ausgabe der y-Werte erfolgt fr das Leistungsspektrum in der Einheit dB. Der Startwert (x=0 bzw. f=0) kann wahlweise auf 0 dB normiert werden. Die Ausgabe der y-Werte der Fouriertransformation und der inversen Fouriertransformation erfolgt dagegen nicht in der Einheit dB. Im Feld "Fensterfunktion" steht Ihnen wieder ein Popup zur Auswahl der einzelnen Fensterfunktionen zur Verfgung. Wir gehen hierauf weiter unten n„her ein. Die Berechnung kann nur erfolgen, wenn die Anzahl der Datenpunkte des Quelldatensatzes eine Potenz zur Basis zwei ist (512, 1024, 2048,..). Da dies in der Regel nicht der Fall ist und damit diese Bedingung erfllbar ist, gibt es das Feld "Gr”že". Hier kann die Gr”že des zu transformierenden Datensatzes nur in Potenzen zur Basis zwei eingestellt werden. Der Quelldatensatz wird dabei vom letzten Punkt (x-max) an mit y=0 erweitert, so daž die Punktanzahl des erweiterten Quelldatensatzes der Forderung entspricht. Ein weiterer Vorteil der erweiterten Datens„tze ist der Einfluž auf den Punktabstand der Fouriertransformierten (Nyquist-Theorem, oben schon angedeutet). Die Maximalfrequenz der Fouriertransformierten wird durch die Differenz der Datenpunkte der x-Achse des Ausgangsdatensatzes (z.B. ein Signal im Zeitbereich) bestimmt (Nyquist-Theorem). Der Punktabstand des transformierten Datensatzes ist durch diese Maximalfrequenz und die Punktanzahl des erweiterten Datensatzes bestimmt. Bei entsprechend vielen Datenpunkten im Ausgangsdatensatz lassen sich so auch die Frequenzkomponenten mit "kleinen" (im Verh„ltnis zur Maximalfrequenz) Frequenzabstand gut auswerten. Bedenken Sie, daž jetzt mitunter aufwendige Rechenoperationen stattfinden werden, die Ihren Rechner schon besch„ftigen werden. Der Einsatz eines Koprozessors bewirkt hier 'wahre Wunder' (natrlich ben”tigen Sie dann auch die Koprozessor-Version von Infinity). Wir m”chten Sie an dieser Stelle allerdings auch nochmal darauf hinweisen, daž die Berechnungen in Infinity (und natrlich auch die Berechnungen zur eigentlichen Darstellung der Diagramme) bzgl. der Ausfhrungszeiten optimiert sind. Vielleicht haben Sie ja die M”glichkeit das folgende Beispiel mit seinen 8192 Datenpunkten, mal mit einem anderen Programm/Rechner nachzuvollziehen. (8192 Datenpunkte als Wertepaare (Text) untereinander ausgedruckt erfordern etwa 35 DIN A4 Seiten!) Bercksichtigen Sie jedoch die jeweiligen Rechnerkonfigurationen/-leistungen und die Koprozessoruntersttzungen bei einem solchen Vergleich. Wir haben also jetzt unseren Datensatz "RECHTECK.DAT" in einem Diagrammfenster geladen. Wir wollen nun das Leistungsspektrum dieses Datensatzes berechnen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - W„hlen Sie zuerst den Quelldatensatzes ("RECHTECK.DAT") aus. Im Feld "Gr”že des Zieldatensatzes" wird die Maximalfrequenz und der Frequenzabstand der Fouriertransformierten eingetragen. Der Wert von Benutzer x-max sollte jetzt gleich dem Wert x-max sein. - W„hlen Sie nun den Zieldatensatz ("FFT01.DAT") aus. - Als Operation ist der Radiobutton "Leistungsspektrum" mit "0 dB Referenz" zu w„hlen. - Wir wollen starten mit einer Fouriertransformation mit 1024 Punkten. W„hlen Sie diese Punktanzahl im Feld Gr”že. - Nach Bet„tigung des Knopfes "Ok" startet die Rechnung. Damit Sie das Ergebnis besser sehen k”nnen, deaktivieren Sie den Quelldatensatz. * ERGBEBNIS: Sie sehen das Leistungsspektrum bis zu seiner Maximalfrequenz. Wir wollen unser Intersse nun aber dem Frequenzbereich bis x = 20 zuwenden. Dazu k”nnen wir uns mit dem Meneintrag "Zoom" im Mentitel "Edit" den gewnschten Bereich aussuchen. Nachdem Sie diesen Menpunkt ausgew„hlt haben, erscheint im Diagrammfenster nicht mehr der Pfeil als Mauszeiger. Sie fhren nun ein Kreuz mit Ihrer Maus. Drcken Sie jetzt auf die linke Maustaste und bewegen die Maus dabei, so ziehen Sie ein Rechteck auf, das den gewnschten zu vergr”žernden Bereich markiert. W„hlen Sie also als Ausschnitt den x-Bereich von 0 bis 20. Das Ganze l„žt sich mit dem Menpunkt "autoskalieren" rckg„ngig machen. Sie sehen jetzt, daž die Anzahl der Punkte im ausgeschnittenen Bereich so gering ist, daž Sie eigentlich nicht viel sehen. Hier k”nnen nur bedingt Aussagen getroffen werden. !!Zur Fortsetzung des Beispiels mssen Sie nun wieder den Zoommodus ausschalten! (unter "Edit" "Autoskalieren" w„hlen). Anderenfalls arbeitet Infinity bei allen numerischen Operationen (aužer reskalieren/normieren) nur mit dem Teil eines Datensatzes, dessen x-Werte innerhalb des sichtbaren x-Bereiches im Fenster liegen!! - Tragen Sie nun bei "Benutz. x-max: " den Wert 20 ein und fhren Sie die Berechnung des Leistungsspektrums mit 8192 Punkten durch. Im Zieldatensatz sollten nun die aufgel”sten Maxima bei ungeraden Vielfachen der Rechteckfrequenz sehr gut zu erkennen sein. Die Wahl von "Benutz. x-max" schr„nkt hier die Anzahl der Punkte des Zieldatensatzes auf das Notwendige ein. So hat Ihr Zieldatensatz in diesem Beispiel etwa 670 Punkte und nicht 8192. Sie k”nnen jetzt also auch Fouriertransformationen mit Infinity vornehmen. Dabei habei Sie den Einfluž erweiterter Datens„tze und die Vorgabe von Maximalfrequenzen kennengelernt. Kommen wir damit zum zweiten Teil dieses Beispiels, der Besonderheit der Fensterfunktionen. Wir m”chten Ihnen hier allerdings nur einen sehr kurzen Einblick geben, da ein ausfhrliches Beispiel den vorliegenden Rahmen wohl sprengen wrde. Gehen wir von einem Signal im Zeitbereich aus, zum Beispiel einer Sprungfunktion. L”schen Sie unser altes Diagrammfenster und laden die Arbeitsdatei "SPRUNG.WRK" in ein neues Diagrammfenster. Der Datensatz hat 100 Punkte. Fhren Sie nun die Berechnung des Leistungspektrums dieses Datensatzes mit einer "Gr”že" von 512 Punkten zun„chst ohne Fensterfunktionen durch. Als Ergebnis sehen Sie, daž das Leistungsspektrum Oszillationen aufweist. Diese Oszillationen sind bedingt durch die Fouriertransformation eines Rechtecksignals. Die Fouriertransformierte ist eine sin(x)/x Funktion, hat also oszillatorischen Charakter. Ziel des 'windowings' soll es hier demnach sein, abrupte šberg„nge zu vermeiden. Dies kann mit den verschiedenen Filtern erreicht werden. Wiederholen sie einmal die eben durchgefhrte Berechnung des Leistungsspektrums mit denselben Parametern, nur w„hlen Sie jetzt als Fensterfunktion "Hamming" aus. Als Ergebnis sehen Sie, daž die Oszillationen deutlich unterdrckt werden. Dieses Beispiel soll hier nicht weiter ausgefhrt werden. Auf 'Fallstricke', Tricks und andere Anwendungen wird im Handbuch ausfhrlich eingegangen.