DSP dla kaûdego (cz. 3.)
------------------------

ÎYK MATEMATYKI

<lead>Swobodne projektowanie i programowanie "czego dusza
zapragnie" wymaga sporej wiedzy i praktyki. Niestety, ûeby móc
zaszaleê, trzeba najpierw trochë przysiâôê faîdów, co moûe jest
na poczâtku nieco nudnawe, ale gwarantuje wspaniaîe wyniki. A
wiëc pora na kolejnâ porcjë bitów.

<a> William Mobius

<txt>Zrobienie efektów typu "blur" czy "smooth" w rysunkach, czy
teû "zamglenie" dúwiëku to w istocie zmniejszenie zawartoôci
wyûszych czëstotliwoôci w sygnale. Uzyskanie tego metodami
cyfrowymi wymaga wczeôniejszej zamiany sygnaîu na takâ wîaônie
postaê -- postaê cyfrowâ. W rezultacie otrzymujemy dane, które w
zaleûnoôci od rodzaju (grafika, dúwiëk) tworzâ zbiór, czyli >ciâg
liczb<. Teraz wprowadzimy sobie parë oznaczeï tak, aby w dalszej
czëôci kaûdy Czytelnik z prawidîowo rozwiniëtym intelektem mógî
pojâê, o co chodzi. Oznaczymy zbiór, czyli ciâg danych
wejôciowych (np. zbiór próbek dúwiëku), jako:

x(i)

Moûna sobie to porównaê z rysunkami 1. i 3. w pierwszej czëôci
cyklu. Zauwaûymy, ûe nastâpiîa zmiana oznaczenia: x(n) na: x(i).
Otóû symbol "n" przyjâî sië w literaturze dla ogólnego oznaczania
numeru próbki, ale symbole typu: "i", "j", "k" "l" i podobne sâ
praktyczniejsze, gdyû przydajâ sië przy programowaniu.

Interpretacja tego jest doôê prosta, jako ûe osobom programujâcym
w jëzykach wyûszego poziomu nieodparcie kojarzy sië z
>jednowymiarowâ< tablicâ liczb. Oznacza to teû, ûe bez kîopotu
moûemy róûnorakie algorytmy i wzory matematyczne zamieniaê od
razu na programy dla komputera. Jest tu, co prawda, kilka
wyjâtków, chociaûby jëzyk C, w którym zamiast tego moûemy uûyê
tzw. wskaúników, ale aby nie zaciemniaê tekstu, pominiemy tu te
sprawy. Tablica oznaczona jako x(i) ma zdefiniowanâ dîugoôê
oznaczanâ zazwyczaj "N", co jest jednoczeônie dîugoôciâ próbki
dúwiëkowej. W programach komputerowych wygodniej oznaczaê to jako
"n", poniewaû wiëkszoôê jëzyków nie dopuszcza nazw dla zmiennych
oznaczanych jednoczeônie duûymi i maîymi literami. Wprowadúmy teû
symbol "q", który bëdzie oznaczaî liczbë bitów okreôlajâcych
dokîadnoôê odwzorowania poziomów sygnaîu, czyli rozdzielczoôê
poziomów, oraz symbol "Ql", okreôlajâcy wîaôciwâ liczbë poziomów.
Te dwie dane sâ ze sobâ ôciôle zwiâzane za pomocâ zaleûnoôci:

Ql=2^q

Oznacza to, ûe np. przy 8 bitach liczba poziomów bëdzie wynosiîa
256. Poglâdowe przedstawienie przykîadowego zbioru danych
przedstawia rys. 1. Mamy tam sampel skîadajâcy sië z 34 liczb,
czyli n=34 oraz q=3, Ql=8. Jeden rzut oka wystarczy na
zorientowanie sië, na czym rzecz polega. Jeûeli napiszemy wiëc:

a=x(5)

to odczytujemy po prostu zawartoôê piâtej komórki w tablicy,
którâ kopiujemy do zmiennej "a". Moûna teû przyjâê konwencjë typu
0..n-1 (liczenie próbek od zera) i wtedy odczytanie tej
konkretnej wartoôci wyglâda, rzecz jasna, tak:

a=x(4)

Nieco inaczej sprawa wyglâda z danymi graficznymi. W tym wypadku
mamy bowiem szerokoôê i wysokoôê (pîaszczyznë). Wygodnie wiëc
zapisywaê obrazek jako tablicë >dwuwymiarowâ<:

x(k,l)

gdzie:

x -- nazwa tablicy;

k -- numer komórki (szerokoôê obrazu);

l -- numer komórki (wysokoôê obrazu).

Teraz caîkowita liczba danych w poziomie oznaczana jest jako "m",
natomiast caîkowita liczba danych w pionie jako "n".  Analogiczne
odczytanie wartoôci takiej tablicy wymaga podania dwóch
wspóîrzëdnych:

a=x(12,35)

Przedstawienie poglâdowe tego zapisu ilustruje rys. 2. W tym
konkretnym wypadku mamy szesnastowartoôciowâ skalë natëûenia oraz
rozdzielczoôê 24 x 50. Przy czym, podobnie jak w wypadku dúwiëku,
wspóîrzëdne punktu moûna podawaê zarówno liczâc od jedynki (tak jak
na rysunku):

1..m  x  1..n

jak i liczâc od zera:

0..m-1  x  0..n-1

W tym drugim wypadku zmienne mogâ przyjmowaê wartoôci 0..23 i
0..49. Jest to caîkowicie równowaûne i tylko od programisty
zaleûy, jakiej konwencji bëdzie uûywaî. Teraz trochë
skomplikujemy zapis, gdyû napiszemy:

a=x(i-1)

Cóû oznacza taki zapis i czy ma sens matematyczny? Popatrzmy na
rys. 3. Widaê tam kawaîek sampla oraz krótki programik.
Przeanalizujmy go. Jak widaê, program pobiera osiem kolejnych
wartoôci i wpisuje do tablicy o nazwie "x". Zaraz potem wypisuje
numer komórki w tablicy oraz zawartoôê tej komórki, a takûe... no
wîaônie. Po uwaûnym przyjrzeniu sië wynikom (co widaê po prawej
stronie) moûemy zauwaûyê, ûe przy danym "i" w skrajnie prawej
kolumnie powtarza sië zapis lewej kolumny, lecz >cofniëty< o jednâ
wartoôê. Ciekawa sprawa wystëpuje przy i=1. Wtedy index "i-1"
pokazuje na komórkë tablicy, której teoretycznie nie ma, a wiëc
program powinien sië zatrzymaê i wyôwietliê bîâd. Jednak na ogóî
jëzyki wysokiego poziomu dopuszczajâ istnienie komórki tablicy o
numerze zero. A poniewaû nic tam nie zostaîo umieszczone,
pierwszâ odczytanâ wartoôciâ jest zero. Do czego moûna te dziwne
obliczenia wykorzystaê, o tym w nastëpnym odcinku.